[Risolto] Analisi matematica 1

Se P é generico nel primo quadrante

l'equazione di PE é

(mt = [d/dx (1/2)x^2] _x= x1 )

y - 1/2 x1^2 = x1 * (x - x1)

e quindi per xE si ha (y = 0 )

xE - x1 = - 1/2 x1^2 : x1

xE = x1 - 1/2 x1 = 1/2 x1

S_[OEP] = 1/2 * OE * |yP| =

= 1/2 * 1/2 x1 * 1/2 x1^2 =

= 1/8 x1^3 = (x1/2)^3

@rui

Buongiorno.

L'area del triangolo OPE è dipendente dal punto P appartenente alla parabola y = 1/2·x^2 . Date le coordinate del punto P(a, 1/2·a^2) con a ≠ 0 appartenente al ramo della parabola del 1° quadrante, è possibile determinare la retta tangente per P:

essendo y'=dy/dx=x, il coefficiente angolare di tale retta è: m=y'(a)=a quindi

y - 1/2·a^2 = a·(x - a)-------> y = a·(2·x - a)/2

Determiniamo ascissa di E:

{y = a·(2·x - a)/2

{y=0

Risolviamo: x = a/2 ∧ y = 0     --------> E(a/2,0)

Area OPE= 1/2·a/2·(1/2·a^2) = a^3/8

Ad esempio, per a=4 ottieni come area=8 (vedi figura sotto)

Ogni parabola Γ con: vertice nell'origine; asse di simmetria l'asse y; apertura a != 0; ha equazione
* Γ ≡ a*x^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*x
e, nel primo quadrante (se a > 0) o nel quarto (se a < 0), è tracciata dal punto cursore, con k > 0,
* P(k, a*k^2)
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La retta "t", tangente Γ in P, è
* t ≡ y = a*k^2 + 2*a*k*(x - k) ≡ y = a*k*(2*x - k)
ed ha lo zero in E(k/2, 0)
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L'area Am del triangolo mistilineo OPE è la differenza fra quella Ar del triangolo rettilineo OPE e quella S del segmento parabolico tagliato dalla corda OP.
* Ar = b*h/2 = |(k/2 - 0)|*|a|*k^2/2 = (|a|/4)*k^3
* S = (|a|/6)*(xE - xO)^3 = (|a|/6)*(k/2)^3 = (|a|/48)*k^3
* Am = Ar - S = (|a|/4)*k^3 - (|a|/48)*k^3 = (11/48)*|a|*k^3
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Con
* a = 1/2
* k = x0
ti ritrovi nel tuo esercizio.