Algoritmo della divisione

Te lo imposto e mi fermo dopo il primo passaggio, poi devi continuare tu. Suppongo che quando hai usato l'asterisco intendessi elevamento a potenza, che in realtà si indica con il simbolo "^". Inoltre, prova ad essere più precisa, hai scritto una volta x e una volta X. La matematica richiede precisione.

$(-2x^5+x^4-x^3+2x+1)/(x^2+3)$

devi prendere i gradi massimi e dividere fra loro:

$-2x^5/x^2=-2x^3$

poi prendi $-2x^3$, rimoltiplichi per il divisore 

$-2x^3*(x^2+3)=-2x^5-6x^3$

e lo sottrai al dividendo:

$(-2x^5+x^4-x^3+2x+1)-(-2x^5-6x^3)=...$

vai avanti tu adesso.

1) C'E' QUALCOSA CHE NON VA NEI TUOI OPERATORI.
Secondo le più diffuse sintassi "da espressione" gli usi sono i seguenti.
* il carattere "^ caret" si usa come operatore infisso di esponenziazione
* il carattere "* asterisco (star)" si usa come operatore infisso di moltiplicazione per un numero (star product)
* il carattere "/ barra in avanti (slash)" si usa come operatore infisso di divisione e/o linea di frazione
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2) C'E' QUALCOSA CHE NON VA NEL TUO USO DELLO SHIFT.
Secondo le più diffuse convenzioni sviluppate negli ultimi pochi secoli:
* il carattere "X ics maiuscolo", e in genere tutte le maiuscole, si usano come nomi di un punto [X(x, y, z)], di una matrice [X = {{a, b}, {c, d}}], di un insieme [X = {x[k]}], ma (salvo casi particolari) non di una variabile;
* il carattere "x ics minuscolo", e in genere tutte le minuscole, si usano come nomi di variabile.
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3) Riscritta per bene (ics minuscolo e operatori d'uso comune) la tua espressione è
* (1 + 2*x - x^3 + x^4 - 2*x^5)/(3 + x^2) =
= (- 2*x^5 + x^4 - x^3 + 2*x + 1)/(x^2 + 3) =
= (- 2*(x^5 - x^4/2 + x^3/2 - x - 1/2))/(1*(x^2 + 3)) =
= - 2*((x^5 - x^4/2 + x^3/2 - x - 1/2)/(x^2 + 3))
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4) I passaggi che ho fatto per preparare l'espressione all'algoritmo della divisione polinomiale sono stati i seguenti.
Ordinare i monomi, già ridotti, per potenze discendenti della variabile.
Mettere in evidenza i coefficienti direttori di numeratore e denominatore.
Presentare l'espressione come prodotto fra la frazione numerica dei coefficienti direttori e la frazione algebrica dei polinomi monici ottenuti.
Ovviamente, una volta esaurita la divisione fra i polinomi monici, sia il quoziente che il resto si moltiplicano per il fattore numerico esterno alla parentesi ottenendo così i risultati della divisione originale.
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5) DIVISIONE FRA POLINOMI (a coefficienti reali)
Con
* g[p(x)] = grado di p(x)
* N(x) = polinomio numeratore-dividendo
* D(x) = polinomio denominatore-divisore
* Q(x) = polinomio quoziente
* R(x) = polinomio resto
la divisione polinomiale si definisce come segue.
Se
* (D(x) != 0) & (g[N(x)] = n >= m = g[D(x)])
allora esiste ed è unica la coppia ordinata
* (Q(x), R(x))
tale che
* (N(x) = Q(x) * D(x) + R(x) & (g[Q(x)] = k = n - m) & (0 <= g[R(x)] < m)
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6) ALGORITMO di Rafael Bombelli (Bologna, 1572)
Per motivi dattilografici, l'indice dei coefficienti n, d, q degli omonimi polinomi è indicato [fra quadratelli].
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Il quoziente Q(x) si costruisce un monomio alla volta, iniziando da quello di grado massimo
* Q1 = q[k]*x^k
ottenuto dal rapporto
* n[k](n)*x^n/(d[k](m)*x^m)
Si costruisce
* R1(x) = N(x) - D(x) * q[k]*x^k
che, per com'è ottenuto q[k]*x^k, manca del termine in x^n ed è di grado n1 < n.
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6a) Se n1 < m, allora la divisione è terminata: R1(x) è il resto e q[k]*x^k il quoziente
* N(x) = D(x) * q[k]*x^k + R(x).
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6b) Se invece n1 >= m, allora la divisione prosegue con la costruzione di un secondo monomio di grado h < k e di un secondo resto parziale
* R2(x) = R1(x) - D(x) * q[h]*x^h di grado n2 < n1.
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6c) Incrementando il suffisso del resto parziale (sostituendo R2(x) ad R1(x), per la prima volta), si reiterano controlli ed azioni 6a, 6b, 6c, fino a terminare nel passo 6a.
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7) UNA TRACCIA DI ESECUZIONE DAL TUO ESEMPIO
Con
* N(x) = x^5 - x^4/2 + x^3/2 - x - 1/2; g[N(x)] = n = 5.
* D(x) = x^2 + 3; g[D(x)] = m = 2 < 5.
si ha
* Q1(x) = x^5/x^2 = x^3
* R1(x) = N(x) - D(x) * q[3]*x^3 = (x^5 - x^4/2 + x^3/2 - x - 1/2) - (x^2 + 3)*x^3 =
= - x^4/2 - (5 x^3)/2 - x - 1/2
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g[R1(x)] = 4 < 2 = g[D(x)] : FALSO, si prosegue.
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* Q2 = (- x^4/2)/x^2 = - x^2/2
* R2(x) = R1(x) - D(x) * Q2 = (- x^4/2 - (5 x^3)/2 - x - 1/2) - (x^2 + 3)*(- x^2/2) =
= - 5*x^3/2 + 3*x^2/2 - x - 1/2
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g[R2(x)] = 3 < 2 = g[D(x)] : FALSO, si prosegue.
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* Q3 = (- 5*x^3/2)/x^2 = - 5*x/2
* R3(x) = R2(x) - D(x) * Q3 = (- 5*x^3/2 + 3*x^2/2 - x - 1/2) - (x^2 + 3)*(- 5*x/2) =
= 3*x^2/2 + 13*x/2 - 1/2
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g[R3(x)] = 2 < 2 = g[D(x)] : FALSO, si prosegue.
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* Q4 = (3*x^2/2)/x^2 = 3/2
* R4(x) = R3(x) - D(x) * Q4 = (3*x^2/2 + 13*x/2 - 1/2) - (x^2 + 3)*3/2 =
= 13*x/2 - 5
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g[R4(x)] = 1 < 2 = g[D(x)] : VERO, si conclude.
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Da
* N(x) = x^5 - x^4/2 + x^3/2 - x - 1/2
* D(x) = x^2 + 3
si ottengono
* Q(x) = x^3 - x^2/2 - 5*x/2 + 3/2
* R(x) = 13*x/2 - 5
da cui infine
* (1 + 2*x - x^3 + x^4 - 2*x^5)/(3 + x^2) =
= - 2*((x^5 - x^4/2 + x^3/2 - x - 1/2)/(x^2 + 3)) =
= - 2*((x^3 - x^2/2 - 5*x/2 + 3/2) + (13*x/2 - 5)/(x^2 + 3)) =
= - 2*(x^3 - x^2/2 - 5*x/2 + 3/2) - 2*(13*x/2 - 5)/(x^2 + 3) =
= - 2*x^3 + x^2 + 5*x - 3 - (13*x - 10)/(x^2 + 3)
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CONTROPROVA nel paragrafo "Quotient and remainder" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2B2*x-x%5E3%2Bx%5E4-2*x%5E5%29%2F%283%2Bx%5E2%29