Dati i sottospazi vettoriali di $\mathbb{R}^{4}$.
$W_{1}=L((-2,0,0,0),(0,-1,0,0))$
$W_{2}=L((-2,-1,3,3),(-3,3,3,1))$
$W_{3}=L((3,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-3))$
determinare quali di queste affermazioni sono vere:
$W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}$
$W_{1} \oplus W_{2}=\mathbb{R}^{4}$
$W_{1}+W_{3}=\mathbb{R}^{4}$
$W_{1} \oplus W_{3}=\mathbb{R}^{4}$
$W_{2}+W_{3}=\mathbb{R}^{4}$
$W_{2} \oplus W_{3}=\mathbb{R}^{4}$
come lo risolvo?
26
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Livello 0
ti dico come fare per $W_1$ e $W_2$:
costruisciti la matrice $A$ definita come:
$A =
\begin{pmatrix}
-2 & 0 & -2 & -3 \\
0 & -1 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 1
\end{pmatrix}$
cioé con le colonne fatte dai vettori delle basi di $W_1$ e $W_2$.
puoi facilmente verificare che $det(A) \neq 0$, quindi i 4 vettori sono linearmente indipendenti.
Quindi $W_1+W_2$ certamente "spanna" $R^4$ ma $W_1$ e $W_2$ non hanno intersezione quindi anche
$W_1 \oplus W_2 = R^4$
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Livello 9
@sebastiano La ringrazio, chiarissimo! Ho capito. 😊
