Quesito anti-noia #17: proiezioni parallele

a. Verifica ortogonalità retta r:, piano Π:

• Vettore direzione retta $ v_r = (1, -1, 1) $
• coefficienti direttivi piano $ n_Π = (1, 2, 3) $

i due vettori non sono paralleli quindi la retta r: non è ortogonale al piano Π:

inoltre possiamo dire che sono incidenti in O(0,0).

b.  Dimostriamo che trattasi di una somma diretta.

• Base per U.
  • • L'equazione ha due variabili libere. Poniamo $ x_2 = t; x_3 = s$ per cui
    • $x_1 = -2t-3s quindi
    • (-2t-3s,t,s) = t(-2,1,0) + s(-3, 0, 1)
  • Una base per U è ((-2,1,1), (-3,0, 1))
• Base per W = (1, -1, 1)

I tre vettori delle basi sono linearmente indipendenti quindi sono una base per ℝ³.
Dalla formula di Grassmann segue che dim(U ∩ W) = 0 quindi la somma è diretta.

U ⊕ W =  ℝ³

c.  Proiezione di W su U.

Scegliamo tra i piani del fascio che hanno per sostegno la retta, quello ortogonale al piano Π:. La proiezione ortogonale della retta r: sarà data dall'intersezione tra i due piani.  

i) Fascio di piani con r: in sostegno.

• Scriviamo la rappresentazione cartesiana della retta r: per confronto delle parametriche

$ \begin{cases} x_1-x_3 =0 \\x_1+x_2=0 \end{cases} $

• Equazione del fascio

$ Π_f = x_1+x_2+k(x_1-x_3) = 0 \; ⇒ \; Π_f = (1+k)x_1 + x_2 - kx_3 = 0 $

• coefficienti direttivi dei piani del fascio

$ n_f = (1+k, 1, -k) $

ii) Determiniamo il piano $ Π_{┴}$ ortogonale al piano  Π dato

$ n_Π \times Π_{┴} = 0 $

$ (1, 2, 3) \times (1+k, 1, -k  \; ⇒ \; k = \frac{3}{2} $

L'equazione del piano $Π_{┴}$ è

$Π_{┴} = 5x_1+2x_2-3x_3 = 0 $

iii) Equazione della proiezione ortogonale

La retta proiezione è data dall'intersezione tra i due piani 

$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3 = 0 \\5x_1+2x_2-3x_3 = 0 \end{cases} $