[Risolto] circuitazione del campo

La circuitazione del campo F lungo quel contorno vale -15 ( e - 2 ) e può essere calcolata almeno in due modi

a) Per via diretta, come integrale di linea :

S_[C]  F * it dl  =   L1 + L2 + L3

https://www.desmos.com/calculator/sn2vaugduv

L1 è il contributo sul tratto orizzontale ( di equazione y = - 1 )

- ln xf = - 1

ln xf = 1

xf = e^1 = e

La rappresentazione parametrica di C1 è

x = t     (dx = dt)

y = -1   (dy = 0 )

1 <= t <= e

 

S_[1,e] (by dx + ax dy ) = S_[1,e] b*(-1) dt = -b (e - 1)

Passiamo al calcolo di L2 - in senso antiorario

 

e <= t <= 1

x = t    ( dx = dt )

y = - ln t    (dy = - 1/t dt )

 

L2 = S_[e,1]  [ b * (- ln t ) + a t *(-1/t ) ] dt =

= S_[1,e] ( b ln t + a ) dt =

= b S_[1,e] ln t dt   + a (e - 1 ) =

ed essendo   S_[1,e]  1 * ln t dt = [ t ln t - S t* 1/t dt ]_[1,e] =

= [ t ln t - t ]_[1,e] = ( e ln e - e ) - ( 1 ln 1 - 1) = e - e - 0 + 1 = 1

 

risulta   L2 = b*1 + a(e - 1) = b + a(e - 1)

 

Infine procediamo con L3

x = 1   (dx = 0)

y = t    ( dy = dt =

 

in senso antiorario t da va 0 a - 1

 

L3 = S_[0,-1] ( b * t * 0 + a * 1 dt ) = a ( - 1 - 0 ) = -a

 

e così  - ricomponendo -

L = L1 + L2 + L3 = - be + b + b + ae - a - a = 2b - 2a + (a - b) e =

 

= (a - b) e - 2(a - b) = (a - b)(e - 2) = (3 - 18)(e - 2) = -15 (e - 2)

 

Pertanto L/(e-2) = -15.

 

b) In alternativa si può usare il teorema di Stokes.

Invece di calcolare

 

S_[frD] F * it dl    si può determinare invece   S_[D] rot F * in dS

in cui la superficie D è piana per cui in ogni suo punto in = k

Qui rot F =

= det ( i j k; d/dx d/dy d/dz; 18y 3x 0 ) =

= 0 i + 0j + (3 - 18) k = -15 k

 

per cui   L = SS_[D]  - 15 k*k dS = - 15 SS_[D] dS = - 15 area D

 

area D = S_[1,e] ( - ln x + 1 ) dx = [ x - x ln x + x ]_[1,e] =

= (2e - e) - (2 - 0) = e - 2

 

perchè  S ln x dx = S 1 * ln (x) dx = x ln x - S x * 1/x dx = x ln x - x + C.

 

Concludendo, L = - 15 ( e - 2 ) =>   L/(e - 2) = -15

come già trovato.