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[Risolto] algebra aiutooo

  

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Trova, se esiste, il valore di c tale che la retta di equazione x + cy = 1:
a. sia parallela all'asse x;
b. passi per (3; 1);
c. sia parallela all'asse y;
d. passi per il punto dell'asse y di ordinata

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Non avrei risposto a quest'esercizio banale se non fosse che il suo testo urta contro un paio dei miei pallini più radicati; uno di pura forma e che non rischia di arrecarti nessun danno cognitivo (se c'è un solo parametro io lo chiamo k); l'altro però è di sostanza e, se non ti metto in guardia io, tu rischi di crescere con la convinzione che sia lecito dire "la retta di equazione x + cy = 1" cioè che si possa chiamare equazione di una retta un'equazione con più di due variabili.
Tale convinzione costituirebbe un grave errore concettuale contravvenendo a un principio basilare della matematica: l'associazione fra un nome (segno) e l'entità nominata (significato) dev'essere rigorosamente biunivoca.
Il significato associato al segno "equazione di retta" è "equazione lineare in una o due variabili": senza variabili non sarebbe nemmeno equazione, ma tautologia o contraddizione, con più di due variabili si dice "equazione parametrica di una FAMIGLIA di rette"; inoltre se tutte le rette della famiglia sono parallele si dice "equazione di un FASCIO IMPROPRIO di rette" oppure se tutte passano per lo stesso punto si dice "equazione di un FASCIO PROPRIO di rette" e quel punto si dice "centro del fascio".
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L'equazione
* x + cy = 1 ≡ x + k*y - 1 = 0
è quella di un fascio proprio in quanto il punto C(1, 0) soddisfà all'equazione per qualsiasi valore del parametro (che, moltiplicato per zero, scompare).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5Bx%2Bk*y-1%3D0%2C%7Bk%2C-3%2C3%7D%5D
Avendo un centro il fascio ha anche due rette parallele agli assi, per definizione di "coordinate di un punto": x = 1; y = 0 (e questa con l'asse ci coincide); quindi essere di un fascio proprio vuol dire che i quesiti a e c sono soddisfatti.
Per soddisfare al quesito b basta scrivere la condizione d'appartenenza di (3, 1) e ricavarne il valore di k
* 3 + k*1 - 1 = 0 ≡ k = - 2
* x - 2*y - 1 = 0
Infine la risposta al quesito d si trova esattamente come la precedente al quesito b, ma dopo aver trovato "il punto dell'asse y di ordinata - 1/2", cioè (0, - 1/2).




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