considera il fascio di circonferenze di equazione x^2+y^2+2x-4y+k=0.
Trova poi il per quali valori di k si ha una circonferenza
d) tangente alla retta di equazione 2x+y-1=0 RISPOSTA k=24/5
Io ho messo a sistema l'equazione del fascio con l'equazione della retta, poi risolvendo l'equazione di x con il parametro k; in seguito trovo il delta, sempre in funzione di k, e lo uguaglio a 0, così da poter trovare il valore di k. Ho provato ma non viene
AIUTOOOOOOOOOOOOOOOOOO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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Livello 0
Ciao
Riconosco che il fascio di circonferenze: x^2 + y^2 + 2·x - 4·y + k = 0
è un fascio concentrico di centro [-1, 2]
e raggio r = √((-1)^2 + 2^2 - k)---> r = √(5 - k)
quindi reali per 5 - k > 0----> k < 5
Con riferimento alla retta: 2·x + y - 1 = 0
si ottiene la circonferenza del fascio tangente ad essa imponendo che r = d
ossia imponendo che il raggio sia pari a d = ABS(2·(-1) + 2 - 1)/√(2^2 + 1^2)
d = √5/5
Quindi deve essere: √(5 - k) = √5/5-----> k = 24/5
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Genius II
@lucianop Grazie mille!! SEI STATO DAVVERO DI GRANDE AIUTO
Dalla forma normale canonica nella quale e data l'equazione del fascio si passa, completando i quadrati dei termini variabili e sottraendo membro a membro il termine noto, alla forma normale standard che evidenzia centro e raggio degli elementi del fascio.
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + 2*x - 4*y + k = 0 ≡
≡ x^2 + 2*x + y^2 - 4*y + k = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 - 1^2 + (y - 2)^2 - 2^2 + k = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + k - 5 = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 - k
dove si vede che
* il centro C(- 1, 2) ha coordinate non parametriche
* il quadrato del raggio r^2 = 5 - k è parametrico e lineare in k
quindi il fascio consiste di circonferenze concentriche di tre categorie
* per k < 5: circonferenze reali non degeneri con raggio positivo (r = √(5 - k))
* per k = 5: una sola circonferenza reale degenere sul centro (r = 0)
* per k > 5: circonferenze complesse con raggio immaginario (r = i*√(k - 5))
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La retta
* t ≡ 2*x + y - 1 = 0 ≡ y = 1 - 2*x
per essere tangente a una Γ(k) reale non degenere va messa a sistema non solo con Γ(k) ma anche con la clausola restrittiva (k < 5).
* (y = 1 - 2*x) & ((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 - k) & (k < 5) ≡
≡ (y = 1 - 2*x) & ((x + 1)^2 + (1 - 2*x - 2)^2 + k - 5 = 0) & (k < 5) ≡
≡ (y = 1 - 2*x) & (5*x^2 + 6*x + k - 3 = 0) & (k < 5)
Il discriminante della risolvente è
* Δ(k) = - 4*(5*k - 24)
s'azzera per k = 24/5, da cui il punto di tangenza
* (y = 1 - 2*x) & (5*x^2 + 6*x + 24/5 - 3 = 0) ≡
≡ T(- 3/5, 11/5)
e la circonferenza
* Γ(24/5) ≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1/5
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D1-2*x%2C%28x%2B1%29%5E2%2B%28y-2%29%5E2%3D1%2F5%5D
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NOTA PERSONALE
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/91008/
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Genius I
