Aiuto trigonometria problemi

@valerio_vincentini 

Il triangolo CPB è un triangolo isoscele sulla base BC, con angoli alla base di 40 gradi. PC=PB=70 cm

L'angolo CAB= 180-80-40= 60 gradi

 

Applichiamo il teorema dei seni al triangolo APC

AP/ sin(40) = PC/ sin (60)

AP = (70*sin(40))/ sin(60)

Quind:

AB=PB + AP = 70 + AP = 121,95 cm

Calcoliamo la lunghezza di CB, base del triangolo isoscele CPB.

Sia H la proiezione di P sulla base BC. PH è l'altezza relativa alla base del triangolo isoscele (altezza, mediana, bisettrice)

CB= 2* HB = 2*70*cos(40) = 107,24 cm

 

Posso quindi calcolare l'area del triangolo ABC

A_ABC= 1/2* BC * AB * sin(40) = 4203,16 cm^2

 

Indichiamo con k il piede della perpendicolare condotta da C al lato AB

CK= (A_ABC*2)/AB = 68,93 cm

 

Il triangolo AKC è rettangolo con angoli di 30,60,90

Quindi noto CK, lato opposto all'angolo di 30, l'ipotenusa AC è:

 

AC= (CK/radice(3))*2 = 79,59 cm

 

Posso quindi calcolare il perimetro del triangolo:

2p_triangolo= AC+AB+BC=121,95+79,59+107,24=308,78 cm

 

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@valerio_vincentini

Es:6)

 

Indichiamo i lati obliqui del trapezio rispettivamente con:

BC = y*radice(2)

AD = x

L'altezza del trapezio circoscritto è il diametro della circonferenza inscritta.

Sia H il piede della perpendicolare condotta da C alla base maggiore AB e k il piede della perpendicolare condotta da D alla base maggiore.

Il triangolo rettangolo CHB ha angoli 45,45,90 ed è quindi la metà di un quadrato di cui BC è la diagonale.

CH = BC/ radice (2) = y

Consideriamo il triangolo rettangolo DAK.

DK= AD* sin(75) = x* sin(75)

Essendo CH=DK possiamo scrivere che: y= x* sin(75)

Essendo il trapezio circoscritto, sappiamo che la somma dei lati obliqui è uguale alla somma delle basi.

Quindi:

(b+B)= x + y*radice(2)

(b+B)=(A_trap*2)/ CH = 64*radice (6) / y

 

da cui otteniamo la seconda condizione:

x + y*radice(2)= 64*radice (6) / y

 

Il sistema che ci permette di determinare l'altezza y del trapezio e quindi il diametro della circonferenza inscritta è:

 

[ x + y*radice(2)= 64*radice (6) / y

[ y= x* sin(75)  ==> x=y/ sin(75)

 

Sostituendo la seconda nella prima otteniamo:

radice(6)*y = 64*radice (6)/y

y^2= 64

y= 8cm

Il diametro della circonferenza inscritta, congruente all'altezza del trapezio, è 8cm

5)

BH = CH = PB*cos 40° = 70*0,766 = 53,62 cm

BC = BH*2 = 107,25 cm 

teorema dei seni 

sen 60°/BC = sen 40/AC

AC =BC*sen 40°/sen 60° =107,25*0,6428/0,866 = 79,60 cm

sen 60°/BC = sen 80/AB

AB =BC*sen 80°/sen 60° =107,25*0,9848/0,866 = 121,96 cm

perimetro 2p = 79,60+121,96+107,25 = 308,81 cm 

semiperimetro p = 154,40

area = √p(p-a)(p-b)(p-c) = √154,40(154,40-79,60)(154,40*107,25)(154,40*121,96) = 4203,8 cm^2 

 

 

6)

angoli BHO , BKO , AMO , AKO = 90°

r / KB = tan 45°/2 

BK = BH = r/tan 22,5° = 2,4142r

CL = CH = r/tan 67,5° = 0,4142r

AK = r/tan 37,5 = 1,3032r

DL = r/tan 52,5 = 0,7673r

somma basi = r(2,4142+0,4142+1,3032+0,7673) = 4,899 r 

32√6 = 4,899 r*r 

r = √((32√6)/4,899) = 4,000 cm