Il grafico in figura rappresenta l'andamento della funzione $f(x)=\frac{8}{x^{2}+4}$ 1. Disegna l'andamento probabile del grafico della funzione $f^{\prime}(x)$, senza eseguire lo studio di funzione. Basati sui dati deducibili dal grafico e motiva le scelte effettuate. 2. Dimostra mediante la definizione di derivata che la derivata di una funzione derivabile e pari è dispari. 3. Puoi dire la stessa cosa delle primitive di una funzione pari?
Ciao ragazzi potete aiutarmi sul punto 1, non so come procedere
I passi da seguire per abbozzare il grafico della derivata prima sono:
1. Simmetrie.
f(x) è pari quindi la sua derivata sarà dispari
2. Zeri f'(x)
Osserviamo che:
f'(x) = 0 per x=0 (è presente un massimo relativo)
f'(x) → 0 per x→±∞ quindi siamo in presenza di asintoti laterali di tipo orizzontale. Se consideriamo la simmetria (dispari) risulterà un unico asintoto orizzontale die equazione y = 0.
3. Segno di f'(x)
f'(x) > 0 per x < 0 (la funzione f(x) è crescente in (-oo,0))
f'(x) < 0 per x > 0 (la funzione f(x) è decrescente in (0,+oo))
tutto ciò è coerente con la simmetria (f'(x) dispari)
4. Massimi e minimi relativi.
Nel punto x=-2/√3 la funzione f(-2/√3) presenta un cambio di concavità da convessa a concava. La sua derivata seconda si annulla (flesso); ne consegue che la derivata prima presenterà un punto stazionario.
Nell'intervallo dove f(x) è convessa la f'(x) sarà crescente subito dopo il punto stazionario sarà decrescente quindi si tratta di un massimo per f'(x) il cui valore è dato
m = f'(-2/√3) = √27/8
Considerando la simmetria troveremo i valori del minimo di f'(x)
