Il grafico in figura rappresenta l'andamento della funzione $f(x)=\frac{8}{x^{2}+4}$ 1. Disegna l'andamento probabile del grafico della funzione $f^{\prime}(x)$, senza eseguire lo studio di funzione Basati sui dati deducibili dal grafico e motiva le scelte effettuate. 2. Dimostra mediante la definizione di derivata che la derivata di una funzione derivabile e pari è dispari. 3. Puoi dire la stessa cosa delle primitive di una funzione pari?
Ciao ragazzi, sul sito matematica altervista hanno pubblicato questo esercizio di matematica ma la spiegazione è mancante e mi servirebbe come esercizio guida. È un estratto della maturità scientifica 2020, potreste svolgermelo passo passo?
"usando la definizione" quindi dobbiamo partire dal limite del rapporto incrementale.
Fissiamo un punto x nell'insieme ( simmetrico rispetto a 0 )in cui f(x) é derivabile e scriviamo
f'(-x) =
= lim_h->0 [ f(- x + h ) - f(-x) ]/h =
= lim_h->0 [ f(x - h) - f(x) ]/h perché f(x) é pari per ipotesi
= lim_k->0 [ f(x + k) - f(x) ]/(-k) con k = -h, se h->0 allora k -> 0
= - lim_k->0 - [ f(x + k) - f(x) ]/k = - f'(x)
e abbiamo dimostrato che la derivata f'(x) é dispari.
Le primitive di una funzione pari in generale non sono dispari
perché S fp(x) dx = Fd(x) + C
e una costante additiva, essendo pari,rovina la simmetria dispari
L'unica primitiva dispari é quella che vale 0 in x = 0.
Quindi mi sembra esauriente come risposta (non è mia: io sono un altro responsore!)
Quindi rimane scoperta solo la 1^ domanda.
La funzione è chiaramente pari e manifesta caratteri di continuità anche nella sua derivata prima,
cioè f '(x) avendo risposto alle altre due domande, il grafico della derivata prima deve essere una funzione di tipo dispari.
La f(x) manifesta un max relativo (ed anche assoluto) in x=0, per cui la f '(x) deve passare per (0,0),
d'altra parte è la funzione f '(x) dispari e pure continua su tutto l'asse x.
Per x--->-inf la derivata f '(x)---->0 sempre per valori positivi misurati dal coefficiente angolare della retta tangente ad f(x), quindi la f '(x) assume sempre valori positivi nel 2° quadrante.
Analogo discorso si dovrà ripetere per la f '(x):
Per x--->+inf la derivata f '(x)---->0 sempre per valori negativi misurati dal coefficiente angolare della retta tangente ad f(x), quindi la f '(x) assume sempre valori negativi nel 4° quadrante.
L'asse delle x (y=0), in virtù della continuità risulterà pertanto asintoto orizzontale della funzione derivata.
In corrispondenza dei punti F1 ed F2 abbiamo dei punti di flesso che, per la funzione f(x) sono tali per cui si annullano le derivate f ''(x), che d'altra parte per la funzione f '(x) costituiscono invece punti in cui si annullano le derivate prime della f '(x) per cui, nel 2° quadrante, in corrispondenza di F1 si avrà un max relativo, nel 4° quadrante un min relativo ( che costituiscono pure max e min assoluti per la funzione f '(x).
A supporto di quanto ho detto allego una foto: in blu la funzione f(x), in rosso la funzione derivata.
