[Risolto] Equazione della retta parametrica

@mirea00

Ciao. Risolviamo il sistema fra la retta in forma parametrica e l'altra retta considerando a come un numero qualsiasi.

{(a + 3)·x + y - 2 = 0

{y + x - 1 = 0

Risolvo ed ottengo: x = 1/(a + 2)  ∧   y = (a + 1)/(a + 2)

Il punto P appartiene al 1° quadrante se e solo se le sue coordinate sono positive. Quindi deve essere:

{1/(a + 2) >0

{(a + 1)/(a + 2) >0

Quindi:

{a > -2

{a < -2 ∨ a > -1

Tale sistema fornisce come soluzione: [a > -1]

PREMESSE
1) Dove c'è un solo parametro io lo chiamo "k".
2) Se "Equazione della retta parametrica" vuol dire "Equazione parametrica della retta" allora la frase corretta è "Fascio di rette".
3) Per "un punto del primo quadrante" si dovrebbe specificare se la frontiera è da intendersi inclusa o esclusa; in assenza di tale specificazione io, del tutto arbitrariamente, intendo "frontiera inclusa".
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A) Riscrivere il problema nei termini delle premesse.
Fra le rette del fascio
* r(k) ≡ (k + 3)*x + y - 2 = 0 ≡ y = 2 - (k + 3)*x
individuare, se esistono, quelle che intersecano la retta
* s ≡ y + x - 1 = 0 ≡ y = 1 - x
in un punto C(x(k), y(k)) tale che
* (x(k) >= 0) & (y(k) >= 0)
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B) Calcolare le coordinate di C (NB: r(- 2) è parallela ad s).
* s & r(k) ≡ (y = 1 - x) & (y = 2 - (k + 3)*x) & (k != - 2) ≡
≡ C(1/(k + 2), (k + 1)/(k + 2))
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C) Applicare il vincolo di appartenenza di C al primo quadrante.
* (x(k) >= 0) & (y(k) >= 0) ≡
≡ (1/(k + 2) >= 0) & ((k + 1)/(k + 2) >= 0) ≡
≡ (k >= - 2) & ((k < - 2) oppure (k >= - 1)) ≡
≡ (k >= - 2) & (k < - 2) oppure (k >= - 2) & (k >= - 1) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure k >= - 1 ≡
≡ k >= - 1