[Risolto] Integrale improprio

L'integrale dato presenta due punti critici, lo zero e +oo. Applichiamo la proprietà additiva rispetto al dominio di integrazione 

∫[0,+∞] f(x) dx = ∫[0,1] f(x) dx + ∫[1,+∞] f(x) dx 

Consideriamo il secondo integrale, applicando il criterio del confronto.

• ∫[1,+∞] f(x) dx 

Per confronto con y=1/x; verifichiamo per quali valori di a vale la disequazione

x/(x²+a²) ≤ 1/x ⇒ ∫[1,+∞] x/(x²+a²) dx ≥ ∫[1,+∞] 1/x dx = +oo infatti

x² ≤ x² + a²

a² ≥ 0

Nell'ipotesi data a > 0 il secondo integrale diverge quindi l'integrale dato è divergente, per definizione.

Possiamo così dire che " L'area in questione è infinita".

NB. In matematica non esiste la definizione di area infinita ma di limite che diverge a +oo.

RAGIONAMENTI CON RELATIVI PASSAGGI
NB: dove c'è un solo parametro io lo chiamo "k".
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PROCEDURA INTUITIVA
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La derivata del denominatore
* d/dx (x^2 + k^2) = 2*x
è proporzionale al numeratore, quindi si ha il differenziale
* d(x^2 + k^2) = 2*x*dx
e l'integrale si può riscrivere come
* ∫ x*dx/(x^2 + k^2) =
= (1/2)*∫ d(x^2 + k^2)/(x^2 + k^2) =
= (1/2)*ln(x^2 + k^2) + C
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PROCEDURA PEDISSEQUA
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A) Consultare le Tavole a caccia d'ispirazioni.
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integrali_indefiniti_di_funzioni_razionali
* ∫ x*dx/(a*x^2 + b*x + c) =
= (1/(2*a))*ln(|a*x^2 + b*x + c|) - (b/(2*a))*∫ dx/(a*x^2 + b*x + c) + C
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C) Applicare al caso in esame.
Con
* (a, b, c) = (1, 0, k^2)
si ha
* ∫ x*dx/(x^2 + k^2) =
= (1/(2*1))*ln(|1*x^2 + 0*x + k^2|) - (0/(2*1))*∫ dx/(1*x^2 + 0*x + k^2) + C =
= (1/2)*ln(|x^2 + k^2|) + C
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* ∫ [x = 0, + ∞] (x*dx/(x^2 + k^2)) =
= (1/2)*(lim_(x → + ∞) ln(x^2 + k^2)) - (1/2)*ln(k^2) =
= (1/2)*(+ ∞) - ln(k) =
= ∞
L'area in questione è infinita.