[Risolto] Aiuto in matematica

* f(x, a != 0) = y = ln(x) + a*(x - 1)/(x + 1)
* f'(x, a) = (x^2 + 2(a + 1)*x + 1)/(x*(x + 1)^2)
* f'(x, a) = 0 ≡ x = - (a + 1) ± √(a*(a + 2)) ≡
≡ (x = - (a + 1) - √(a*(a + 2))) oppure (x = - (a + 1) + √(a*(a + 2)))
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QUESITI
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a) (1 = - (a + 1) - √(a*(a + 2))) oppure (1 = - (a + 1) + √(a*(a + 2))) ≡
≡ (a = - 2) oppure (a = - 2) ≡
≡ a = - 2
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b) La retta 2*x - 9*y = 0 ≡ y = (2/9)*x ha pendenza m = 2/9.
La curva Γ, grafico della funzione
* Γ ≡ f(x) = y = ln(x) - 2*(x - 1)/(x + 1)
ha pendenza
* m(x) = (1/x)*((x - 1)/(x + 1))^2
da cui
* m(x) = m ≡ (1/x)*((x - 1)/(x + 1))^2 = 2/9 ≡ x = 1/2
e l'eventuale punto richiesto
* P(1/2, f(1/2)) = (1/2, 2/3 - ln(2)) ~= (0.5, - 0.026)
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c) HORRESCO (mia nonna avrebbe detto: mi si rizzano le carni!) alla sola idea di studiare la monotonìa di cose monòtone!
Posso spingere la mia indole accomodante fino a studiare la monotonicità di cose monotòne.
La padronanza dell'italiano viene a mancare sempre di più, anche fra gli autori ultrapagati da editori ultratirchi che in compenso risparmiano sui curatori editoriali: è ovvio che uno studente di Matematica costa molto meno di un laureato in Lettere! Solo che questo avrebbe saputo che mutare un accento può stravolgere i significati e avrebbe imposto all'incolto autore di usare il sostantivo brutto e corretto al posto di quello bello e ridicolo.
Vabbe', basta! Passo alla monotonicità.
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Una funzione f(x) è monotòna (NON monòtona!) là dove la sua derivata mantiene il segno, cioè: fra gli zeri di f'(x), a sinistra del minimo zero, a destra del massimo zero, sugl'intervalli identicamente zero.
Per
* f(x) = y = ln(x) - 2*(x - 1)/(x + 1)
* f'(x) = (1/x)*((x - 1)/(x + 1))^2
si ha la distinzione di casi
* x < - 1: f'(x) < 0; f(x) è decrescente.
* x = - 1: f(x) e f'(x) sono indefinite.
* - 1 < x < 0: f'(x) < 0; f(x) è decrescente.
* x = 0: f(x) e f'(x) sono indefinite.
* 0 < x < 1: f'(x) > 0; f(x) è crescente.
* x = 1: f'(x) = 0; f(x) è stazionaria.
* x > 1: f'(x) > 0; f(x) è crescente.
Dal momento che f(1) = 0 è ovvio da "x > 1: f(x) è crescente" dedurre "x > 1: f(x) > 0".
QED
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d) Questo è un nuovo esercizio surrettiziamente infilato come punto D di quello principale con i quale c'entra come i cavoli a merenda cioè, come diceva un mio collega professore di lettere, "è come prendere cazzi per lampioni!".
L'autore doveva proprio aver fumato sostanze che non tollerava bene.
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d1) h(x) = y = ln(x)
ha pendenza
* h'(x) = 1/x
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d2) g(x) = y = 2*(x - 1)/(x + 1)
ha pendenza
* g'(x) = 4/(x + 1)^2
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d2) Nell'ascissa x = 1 si ha
* h'(x) = 1/1 = 1
* g'(x) = 4/(1 + 1)^2 = 1
quindi h(x) e g(x) hanno ivi tangenti parallele; inoltre
* h(1) = y = ln(1) = 0
* g(1) = y = 2*(1 - 1)/(1 + 1) = 0
quindi, poiché le rette tangenti coincidono, h(x) e g(x) sono tangenti in T(1, 0) con in comune
* t ≡ y = x - 1
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d3) Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx-1%2Cy%3Dln%28x%29%2Cy%3D2*%28x-1%29%2F%28x--1%29%5Dfor+x%2Cy+real

 

Se la riscrivo come

f(x) = ln x + a(1 - 2/(x+1))

f'(x) = 1/x + 2a/(x+1)^2

f'(1) = 0 ( punto stazionario )

1 + 2a/(2^2) = 0 => 2a/4 = -1 => a = -2

 

f*(x) = ln x - 2 + 4/(x+1)

la tangente deve essere parallela a y = 2/9 x

1/x - 4/(x+1)^2 = 2/9

9x(x+1)^2

9(x+1)^2 - 36x = x(x+1)^2

2x^3 + 4x^2 + 2x = 9x^2 + 18x + 9 - 36x

2x^3 - 5x^2 + 20x - 9 = 0

(2x - 1)(x^2 - 2x + 9) = 0

x = 1/2 V (x - 1)^2 + 8 = 0

x = 1/2

y = ln 1/2 - 2 + 4/(3/2) = - ln 2 - 2 + 8/3 = 2/3 - ln 2

 

Parte c)

1/x - 4/(x+1)^2 >= 0    con x > 0 ( per il logaritmo )

[(x+1)^2 - 4x]/(x(x+1)^2) >= 0

x^2 + 2x + 1 - 4x >= 0

(x - 1)^2 >= 0

per x > 1  la funzione é strettamente crescente

 

essendo poi f(1) = ln 1 - 2 + 4/(1+1) = 0 - 2 + 2 = 0

risulta  f(x) > 0 per x > 1

d) la tangenza dei due grafici per x = 1 é conseguenza immediata del fatto

che la differenza delle funzioni rappresentative é f ed é stazionaria in tale punto

I grafici sono elementari : la logaritmica naturale e una funzione omografica

( iperbole equilatera traslata )

 

https://www.desmos.com/calculator/t7ozyms7vp