Buonasera, sono uno studente di quarta liceo che sta studiando algebra lineare da autodidatta. Volevo chiedere se qualcuno potesse aiutarmi con questo esercizio passo passo.
Buonasera, sono uno studente di quarta liceo che sta studiando algebra lineare da autodidatta. Volevo chiedere se qualcuno potesse aiutarmi con questo esercizio passo passo.
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Livello 2
Dunque è necessario fare una prova per ogni numero maggiore di 7?
@fede-uwu potresti anche fare così ma è molto più laborioso, ragiona per multipli. Ad esempio: come posso arrivare a distanza di 1 da un multiplo di 7?
Per 3 ad esempio avresti
3*1=3 (escluso perché più piccolo di 7)
3*2=6 (escluso perché più piccolo di 7)
3*3=9 (escluso perché dista 2)
3*4=12 (escluso perché dista 5)
3*5=15 (dista 1).
Con la pratica diviene più semplice.
Problema:
In $\mathbb{Z}_7$ si calcoli per ogni elemento non nullo l'inverso rispetto al prodotto.
Soluzione:
Si vuole trovare, per ogni elemento non nullo \( a \in \mathbb{Z}_7^* = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), l'inverso moltiplicativo \( a^{-1} \), tale che:
\[
a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{7}
\]
$1 \cdot 1 = 1 \Rightarrow 1^{-1} \equiv 1 \mod 7$
$2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \mod 7 \Rightarrow 2^{-1} \equiv 4 \mod 7 $
$3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \mod 7 \Rightarrow 3^{-1} \equiv 5 \mod 7 $
$4 \cdot 2 = 8 \equiv 1 \mod 7 \Rightarrow 4^{-1} \equiv 2 \mod 7$
$5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \mod 7 \Rightarrow 5^{-1} \equiv 3 \mod 7$
$6 \cdot 6 = 36 \equiv 1 \mod 7 \Rightarrow 6^{-1} \equiv 6 \mod 7 $
(Ricorda che $^{-1}$ significa inverso, non ha altro significato).
Dunque, l'inverso di 1 è 1, l'inverso di 2 è 4, l'inverso di 3 è 5, l'inverso di 4 è 2, l'inverso di 5 è 3 e l'inverso di 6 è 6.
Il secondo punto prova a farlo da solo facendo riferimento alla teoria del manuale, se non trovi la soluzione chiedila qui nei commenti 😉 .
Per comprendere meglio l'aritmetica modulare ti consiglio di leggerti anche questa mia risposta: https://www.sosmatematica.it/forum/domande/risolvere-le-seguenti-equazioni-in-z-27z/#post-272606
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Livello 6
@rebc Grazie mille RebC per le tue risposte, il mio problema era capire come ottenere il resto in un modo più immediato, cioè come hai fatto tu a capire velocemente come 15=1 mod 7?
@fede-uwu Il metodo che funziona meglio per me è immaginare gli orologi, una buona alternativa per grandi numeri è vedere quanto dista dal multiplo (in questo caso 7) più vicino.
Ad esempio 15=1 mod 7 perché dista di un passo da 14 (7*2).
Per esercitarti calcola
33 in mod 16
48 in mod 12
123 in mod 11
138780 in mod 10.
@rebc Grazie mille RebC! Ho capito finalmente!