Risolvere le seguenti equazioni in Z/27Z

Problema:

Risolvere la seguente equazione in $\frac{\mathbb{Z}}{27\mathbb{Z}}$

$x²+x+[2]_{27}=[0]_{27}$ 

Suggerimento: studiare prima l'equazione corrispondente in $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$

Soluzione:

Prima di iniziare è utile ricordare che $\frac{\mathbb{Z}}{27\mathbb{Z}}:=\{0,1,2,...,26\}$, bisogna dunque immaginare un orologio che va da 1 a 27, ove $27\equiv 0$. Inoltre, in generale valgono le seguenti proprietà dell'aritmetica modulare: $[a][b]=[ab], [a]+[b]=[a+b]$.

Utilizzando il suggerimento offerto, si ha che: $x²+x+[2]_{3}=[0]_{3}$ .

Dato che $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}:=\{0,1,2\}$ , è possibile verificare manualmente quale elemento dell'insieme soddisfa l'equazione.

$[0]_{3}²+[0]_3+[2]_{3}=[0]_{3} \implies [2]_3=[0]_3$ , ciò è falso, dunque 0 non è soluzione.

$[1]_{3}²+[1]_3+[2]_{3}=[0]_{3} \implies [4]_3\equiv[1]_3=[0]_3$, ciò è falso, dunque 1 non è soluzione.

$[2]_{3}²+[2]_3+[2]_{3}=[0]_{3} \implies [8]_3\equiv [2]_3=[0]_3$, ciò è falso, dunque 2 non è soluzione.

Ma d'altronde $27=3*3*3$, quindi non vi è soluzione neanche in $\frac{\mathbb{Z}}{27\mathbb{Z}}$ (Teorema di Hensel)