[Risolto] Aiuto Esercizio Geometria 1

Problema:
Sia \((\mathbb{Q},+,\cdot)\) il campo dei numeri razionali. Si definisca in \(\mathbb{Q}\) una nuova operazione
\[
x \star y \;=\; \frac{3}{4}\,(x\cdot y).
\]
Si dimostri che \(\bigl(\mathbb{Q},\,+,\,\star\bigr)\) è un campo.

Soluzione:

1. Addizione
Poiché l’operazione “\(+\)” è esattamente la somma usuale in \(\mathbb{Q}\), è già noto che
\[
(\mathbb{Q},+)
\]
è un gruppo abeliano con identità \(0\) e inverso di \(x\) pari a \(-x\).

2. “Moltiplicazione” \(\star\)
a) Chiusura e commutatività
Per ogni \(x,y\in\mathbb{Q}\),
\[
x\star y \;=\;\tfrac{3}{4}(x\,y)\;\in\mathbb{Q},
\]
e chiaramente \(x\star y = y\star x\).

b) Associatività
Si calcola
\[
(x\star y)\star z
= \frac{3}{4}\bigl((x\star y)\,z\bigr)
= \frac{3}{4}\Bigl(\frac{3}{4}(x\,y)\,z\Bigr)
= \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^2\,x\,y\,z
\]
e
\[
x\star(y\star z)
= \frac{3}{4}\Bigl(x\,(y\star z)\Bigr)
= \frac{3}{4}\Bigl(x\,\frac{3}{4}(y\,z)\Bigr)
= \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^2\,x\,y\,z.
\]
Quindi \((x\star y)\star z = x\star(y\star z)\).

c) Identità moltiplicativa
Si individua un elemento \(e\in\mathbb{Q}\) tale che
\[
e\star x \;=\; x
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{3}{4}(e\,x)=x
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{3}{4}e=1
\quad\Longrightarrow\quad
e=\frac{4}{3}.
\]
Pertanto l’identità per \(\star\) è \(e=4/3\).

d) Inverso moltiplicativo
Sia \(x\in\mathbb{Q}\), \(x\neq0\). Si cerca \(y\in\mathbb{Q}\) tale che
\[
x\star y \;=\; \frac{4}{3}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{3}{4}(x\,y)=\frac{4}{3}
\quad\Longrightarrow\quad
x\,y
= \frac{4/3}{3/4}
= \frac{4}{3}\cdot\frac{4}{3}
= \frac{16}{9}
\quad\Longrightarrow\quad
y = \frac{16}{9x}.
\]
Quindi ogni \(x\neq0\) ha inverso \(x^{-1_\star} = 16/(9x)\) rispetto a \(\star\).

3. Distributività
Per ogni \(x,y,z\in\mathbb{Q}\),
\[
x\star(y+z)
= \frac{3}{4}\bigl(x\,(y+z)\bigr)
= \frac{3}{4}(x\,y + x\,z)
= \frac{3}{4}x\,y + \frac{3}{4}x\,z
= (x\star y) + (x\star z),
\]
e analogamente \((y+z)\star x = y\star x + z\star x\).

Tutte le proprietà di campo (gruppo abeliano additivo, gruppo abeliano moltiplicativo su \(\mathbb{Q}\setminus\{0\}\), e distributività) sono dunque verificate, pertanto \(\bigl(\mathbb{Q},+,\star\bigr)\) è un campo.

Vedo che hai iniziato le strutture algebriche su cui si basa tutto :), ti consiglio anche questi video in caso volessi approfondire e/o rendere il tutto meno memory-based come può sembrare all'inizio, anche se si va nell'algebra astratta:

https://m.youtube.com/watch?v=mH0oCDa74tE

(molto consigliato)

Questi video (la playlist puoi anche non vederla per intero) riguardano la teoria dei gruppi, per gli anelli e i campi ti consiglierei di aspettare il momento opportuno...