Aiuto con gli integrali

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/aiuto-con-integrali/#post-132486

L'hai già chiesto almeno un paio di volte! È più difficile inventarsi quiz nuovi che rispondere!

Nel dettaglio 

https://www.youmath.it/forum/analisi-1/18574-integrale-indefinito-del-logaritmo-al-quadrato-log2x.html  

Come ti dissi nella mia risposta di venerdì scorso 11 agosto 2023
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/131982/
"Uno alla volta te l'avrei sviluppati dall'inizio alla fine"; ho anche apprezzato il tentativo di trascrizione "S(log)^2dx", che però sarebbe dovuta essere
* ∫ ln^2(x)*dx
Puoi trovare simboli UTF8 su cui fare Copia/Incolla al link
http://cloford.com/resources/charcodes/utf-8_mathematical.htm
o anche, se ti bastano, copiarli dalla mia raccolta
∓ ± √() ∫ → ∞ ~= α β γ δ ∂ ε η θ ζ λ μ ν π ρ σ ς τ ξ υ φ χ χ^2 ω Γ ≡ Δ Ξ Λ Π Σ Φ Ψ Ω «» € ≠ ≈ ≤ ≥ × · ← ↑ → ↓ ↔ ↕ ⇧ ⇩ ↺ ↻ ¬ Ø ∩ ∪ ∧ ∨ £ ♠ ♣ ♥ ♦ © • ÷ ○ ◦ ` ó ⟂ ∇ ™ ≺ ≅ ª ä æ ë ï î ö ü ∀ ∈ ∉ ∃ ∄
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Passo preliminare: procurarsi, con altri mezzi, il risultato da conseguire.
http://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%28%28ln%28x%29%29%5E2%29*dx
* ∫ ln^2(x)*dx = x*(ln^2(x) - 2*ln(x) + 2) + c
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Poi applicare la regola
* ∫ u*dv = u*v - ∫ v*du
al caso di
* u = ln^2(x)
* du = 2*ln(x)*dx/x
* dv = dx
* v = x
ottenendo
* ∫ ln^2(x)*dx = x*ln^2(x) - ∫ x*2*ln(x)*dx/x =
= x*ln^2(x) - 2*∫ ln(x)*dx =
= x*ln^2(x) - 2*x*(ln(x) - 1) =
= x*(ln^2(x) - 2*ln(x) + 2)
QED
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DETTAGLIO
Analogamente, applicare la regola
* ∫ u*dv = u*v - ∫ v*du
al caso di
* u = ln(x)
* du = dx/x
* dv = dx
* v = x
ottenendo
* ∫ ln(x)*dx = x*ln(x) - ∫ x*dx/x = ... e così via.

Secondo me potresti provare ponendo ln x = t

x = e^t

dx = e^t dt

S t^2 e^t dt si fa per parti

t^2 e^t - S 2t e^t dt =

= t^2 e^t - 2 (t e^t - S e^t dt) =

= (t^2 - 2t + 2)e^t + C =

= (ln^2 (x) - 2 ln x+ 2) x + C