[Risolto] Disequazione

La disequazione
* "6x2°-1/2x>_[5/2]" ≡ 6*x^2 - x/2 >= 5/2
si risolve come segue.
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Sottrarre membro a membro il secondo membro.
Dividere membro a membro per il coefficiente direttore.
Così si ottiene una disequazione in forma normale canonica: polinomio monico, diseguaglianza, zero.
* 6*x^2 - x/2 >= 5/2 ≡
≡ 6*x^2 - x/2 - 5/2 >= 0 ≡
≡ x^2 - x/12 - 5/12 >= 0
Completare il quadrato dei termini variabili.
Scrivere il termine noto come opposto di un quadrato.
Applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati".
* x^2 - x/12 - 5/12 >= 0 ≡
≡ (x - 1/24)^2 - (1/24)^2 - 5/12 >= 0 ≡
≡ (x - 1/24)^2 - 241/576 >= 0 ≡
≡ (x - 1/24)^2 - (√241/24)^2 >= 0 ≡
≡ (x - 1/24 + √241/24)*(x - 1/24 - √241/24) >= 0 ≡
≡ (x - (1 - √241)/24)*(x - (1 + √241)/24) >= 0
Il prodotto fra i due binomi è nullo se e solo se lo è uno dei due, cioè per x = (1 ± √241)/24.
Se nessun binomio è zero il prodotto è positivo se e solo se i due binomi sono concordi
* (x < (1 - √241)/24) & (x < (1 + √241)/24) oppure (x > (1 - √241)/24) & (x > (1 + √241)/24) ≡
≡ (x < (1 - √241)/24) oppure (x > (1 + √241)/24)
CONFERMA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+6*x%5E2-x%2F2%3E%3D5%2F2+for+x+real

Ciao!

$$ 6 x^2-\frac12 x \geq \frac62 $$

Spostiamo tutto a sinistra:

$ 6x^2-\frac12 x -\frac62 \geq 0 $

Facciamo il minimo comune multiplo e togliamo il denominatore:

$12 x^2-x-6 \geq 0 $

Calcoliamo il Delta:

$\Delta = b^2-4ac = 1^2-4(12)(-6) = \sqrt{289} = 17 $

Le soluzioni sono: $x = \frac{1 \pm 17 }{24} $ cioè

$ x = - \frac{16}{24} = - \frac23 $

$ x = \frac{18}{24} = \frac34 $

e dato che il coefficiente di $x^2$ è positivo e anche il segno della disequazione, prendiamo valori esterni:

$ x \leq -\frac23 \vee x \geq \frac34 $

$6x^2-\frac{1}{2}x \geq 6/2$

significa

$6x^2-\frac{1}{2}x \geq 3$

$12^2-x -6 \geq 0$

$\Delta=1+12*4*6=289=17^2$

quindi

$x_1=-16/24=-2/3$

$x_2=18/24=3/4$

le soluzioni sono i valori esterni alle radici quindi:

$x \leq -2/3$ U $x \geq 3/4$

Se è

$6x^2-\frac{1}{2}x \geq 5/2$

significa

$12x^2-x -5 \geq 0$

$\Delta=1+12*4*5=241$

quindi

$x_1=\frac{1-\sqrt{241}}{24}$

$x_2=\frac{1+\sqrt{241}}{24}$

le soluzioni sono i valori esterni alle radici quindi:

$x \leq \frac{1-\sqrt{241}}{24}$ U $x \geq \frac{1+\sqrt{241}}{24}$

 

 

6x2°-1/2[5/2]