Criterio generale di divisibilità

Una applicazione della scomposizione in fattori primi è quella che permette di riconoscere se un numero è divisibile per un altro.

Il primo passaggio consiste nella scomposizione in fattori primi dei numeri che si prendono in considerazione.

Un volta eseguita la scomposizione, si osservano i fattori: si può affermare che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione in fattori primi del dividendo (primo numero) si trovano tutti i fattori primi del divisore (secondo numero), con esponente maggiore o uguale.

Infine, dividendo i fattori corrispondenti del dividendo e del divisore, è possibile ottenere il quoziente della divisione,  applicando le proprietà delle potenze

ESEMPIO

60 e 45 sono divisibili per 15 perché entrambi contengono i fattori di 15.

 

ESEMPIO

Ad esempio, verifichiamo se il numero 8568 è divisibile per 612 senza eseguire la divisione.

Scomponendo in fattori primi abbiamo:

$$8568=2^3\times 3^2 \times 7 \times 17$$

$$612=2^2\times 3^2 \times 17$$

Il primo numero contiene tutti i fattori del secondo con esponente uguale o maggiore; quindi 8568 è divisibile per 612 e si ha: