In questa sezione trattiamo l’individuazione del minimo comune multiplo indicato con m.c.m. .

I multipli di un numero n, diverso da zero, sono infiniti.

Consideriamo ora i multipli di 8 e di 12:

I numeri colorati in verde sono multipli comuni di 8 e di 12. Questi sono multipli di un numero illimitato. Il minore dei multipli comuni, cioè 24, si dice minimo comune multiplo.

Si ha quindi:

REGOLA

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri è il minore dei loro multipli comuni.

ESEMPIO

Ad esempio, se dobbiamo trovare il m.c.m. (6;10;15)

dobbiamo prendere i multipli comuni in questi tre numeri:

M(6)={6;12;18;24;30;36;42;48;54;60;66…}

M(10)={10,20,30,45,60,70…}

M(15)={15;30;45;60;75…}

I multipli comuni sono quindi 30;60… dove 30 è il minore dei multipli comuni. Quindi:

quindi: m.c.m. (6;10;15)=30

Questi numeri, che abbiamo considerato in questo esempio, possono essere posti anche al denominatore di un numero frazionario, ma il m.c.m. si svolgerà sempre con lo stesso procedimento.

REGOLA

Dati due o più numeri, se il maggiore è multiplo di tutti gli altri, esso è il m.c.m. dei numeri dati.

Quindi possiamo dire che, il m.c.m. di due o più numeri primi fra loro è il loro prodotto.

Ricerca del m.c.m con la scomposizione in fattori primi

La ricerca del m.c.m. con si ottiene applicando il metodo della scomposizione in fattori primi, attraverso i seguenti passaggi.

Calcolare il m.c.m. (450;840;252):

  • Scomporre i tre numeri in fattori primi:
  • Il m.c.m. deve essere multiplo dei tre numeri, quindi deve contenere tutti i fattori delle tre scomposizioni. Dobbiamo allora considerare:

che contiene anche e

il quale contiene anche

che contiene anche

  • Moltiplicare fra loro i fattori comuni e non comuni:

Risulta così:

m.c.m.(450;840;252)=12600

REGOLA

Il m.c.m. di due o più numeri scomposti in fattori primi è il prodotto di tutti i loro fattori primi comuni e non comuni presi una sola volta con il massimo esponente.

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