Le proprietà delle funzioni e la funzione composta

Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive


Funzione iniettiva

Una funzione da A a B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A.

a ogni elemento di B arriva al più una freccia

Se una funzione è iniettiva, a due elementi distinti del dominio non corrisponde mai lo stesso elemento del codominio, cioè:

$x_1\neq x_2$ , $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ .

Funzione suriettiva

Una funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.

a ogni elemento di B arriva almeno una freccia

Il fatto che una funzione sia o non sia suriettiva dipende da come si sceglie l’insieme di arrivo. Se lo di sceglie coincidente con il codominio, la funzione è suriettiva.

Funzione biiettiva ( o biunivoca )

Una funzione da A a B è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva.

a ogni elemento di B arriva una e una sola freccia

Una funzione biiettiva viene anche chiamata biiezione o corrispondenza biunivoca fra A e B. In simboli:

In una funzione biiettiva c’è una corrispondenza uno a uno fra gli elementi di A e quelli di B. Ogni elemento di A è l’immagine di uno e un solo elemento di B e viceversa.

Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti


Funzione crescente in senso stretto

Una funzione $y=f(x)$ di dominio D si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti scelti $x_1$ e $x_2$ appartenenti a I, con $x_1>x_2$, risulta .

Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione $f(x_1)$ con , otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato. o anche non decrescente.

Funzione decrescente in senso stretto

Una funzione $y=f(x)$ di dominio D si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti $x_1$ e $x_2$ appartenenti a I, con , risulta .

Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione con , otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato, o anche non crescente.

Una funzione si dice monotona in un intervallo I del suo dominio se in I è sempre crescente o sempre decrescente.

Le funzioni pari, le funzioni dispari


Funzioni pari

Indichiamo con D un sottoinsieme di tale che, se , allora . Una funzione $y=f(x)$ si dice pari se per qualunque x appartenente a D.

In generale, se una funzione polinomiale ha espressione analitica contenente soltanto potenze della x con esponente pari, allora è pari.

Funzione dispari

Indichiamo con D un sottoinsieme di tale che, se , anche . Una funzione si dice dispari in D se per qualunque x appartenente a D.

Una funzione polinomiale con espressione analitica contenente solo potenze della x con esponente dispari è una funzione dispari.

Funzione inversa

Sia una funzione biiettiva. La funzione inversa f è la funzione biiettiva che associa a ogni y di B il valore di x di A tale che .

Si ha quindi:

ma per poter rappresentare questa funzione nello stesso piano cartesiano di , operiamo la sostituzione:

e

Se f non è biiettiva, e quindi non è invertibile, possiamo operare una restrizione del dominio a un sottoinsieme in cui f risulti biiettiva.

Funzione composta

Comporre le due funzioni:

e

significa considerare una terza funzione, detta funzione composta . che associa a ogni elemento di A un elemento di C nel seguente modo:

  • All’elemento x appartenente all’insieme A corrisponde, mediante f, l’elemento f(x) che appartiene all’insieme B.
  • All’elemento f(x) appartenente all’insieme B corrisponde, mediante g, l’elemento g(f(x)) appartenente all’insieme C.

Se C=A, possiamo considerare contemporaneamente sia sia , ma in generale si ha:

ossia la composizione delle funzioni non è commutativa.

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