[Risolto] Problemi Circonferenza

Il primo già risolto:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/problema-circonferenza/#post-25744

Vedo di risolvere il secondo, più tardi!

Vedi il :

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Palesando le tue difficoltà nel relativo tuo svolgimento (se vuoi trovare qualche utilità dal sito)

2° esercizio:

metto a sistema:

{y = m·x

{x^2 + y^2 - 12·x + 4·y + 20 = 0

Risolvo per sostituzione:

x^2 + (m·x)^2 - 12·x + 4·(m·x) + 20 = 0

x^2·(m^2 + 1) + x·(4·m - 12) + 20 = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ = 0

(4·m - 12)^2 - 80·(m^2 + 1) = 0

(16·m^2 - 96·m + 144) - (80·m^2 + 80) = 0

- 64·m^2 - 96·m + 64 = 0-------->2·m^2 + 3·m - 2 = 0

m = 1/2 ∨ m = -2

per m=-2:

x^2·((-2)^2 + 1) + x·(4·(-2) - 12) + 20 = 0

5·x^2 - 20·x + 20 = 0

x = 2

per m=1/2

x^2·((1/2)^2 + 1) + x·(4·(1/2) - 12) + 20 = 0

5·x^2/4 - 10·x + 20 = 0

x = 4

P(2,-4) e Q(4,2)

Un problema per volta. Grazie!

Caro LucaRicc, benvenuto!
Mi associo all'invito di @mg e aggiungo la richiesta che la foto sia un'aggiunta alla trascrizione e non una sua sostituzione; puoi trovare tutti i particolari leggendo il
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
di questo sito.
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I tuoi due esercizi, 113 e 114, sono visioni complementari dello stesso problema: polarità indotta da una conica nel suo piano; il 113 chiede anche l'area di un triangolo di cui siano noti i vertici.
A quest'ultima richiesta si risponde con meno parole che alla prima. Buona lettura!
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Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla cònica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla cònica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla cònica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla cònica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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ESERCIZIO 113
* Γ ≡ f(x, y) = x^2 + y^2 - 4*x - 2*y + 3 = 0
* x^2 + 0^2 - 4*x - 2*0 + 3 = (x - 1)*(x - 3) = 0 ≡ A(1, 0), B(3, 0)
* p(Γ, A(1, 0)) ≡ 1*x + 0*y - 4*(1 + x)/2 - 2*(0 + y)/2 + 3 = 0 ≡ y = 1 - x
* p(Γ, B(3, 0)) ≡ 3*x + 0*y - 4*(3 + x)/2 - 2*(0 + y)/2 + 3 = 0 ≡ y = x - 3
* (y = 1 - x) & (y = x - 3) ≡ C(2, - 1)
* S(ABC) = 1
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ESERCIZIO 114
* Γ ≡ f(x, y) = x^2 + y^2 - 12*x + 4*y + 20 = 0
* p(Γ, O(0, 0)) ≡ 0*x + 0*y - 12*(0 + x)/2 + 4*(0 + y)/2 + 20 = 0 ≡ y = 3*x - 10
* (y = 3*x - 10) & (x^2 + y^2 - 12*x + 4*y + 20 = 0) ≡ P(2, - 4), Q(4, 2)