Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema di Weierstrass nell'intervallo indicato, motivando la risposta.
Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema di Weierstrass nell'intervallo indicato, motivando la risposta.
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Livello 2
$ f(x) = \frac {x^5-1}{x^2(x+1)(x-1)}$
La funzione non è definita per x = -1. L'ipotesi di Weirestrass richiede che sia definita e continua in un insieme chiusi è limitato.
Ma, non tutto è perduto,
Solo per chi è interessato.
La funzione f(x) è definita in (-1, -1/2], e ivi continua.
Inoltre
$ \displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty $
Sebbene l'intervallo non sia compatto possiamo usare il teorema di "Weirestrass generalizzato" e affermare che esiste il minimo assoluto.
Ovviamente non può esistere il massimo visto che il Sup {f(x) | x∈(-1, -1/2] } = +∞
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Livello 6
Non è applicabile il teorema in quanto:
C.E.:
x^4 - x^2 ≠ 0---> x ≠ -1 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 0
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Genius III