Rappresenta graficamente le curve di equazioni $y=2 \sqrt{x-1}$ e $y=\sqrt{x}$ e calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione di $360^{\circ}$ intorno all'asse $x$ della figura definita dai due grafici e dall'asse $x$.
$$
\left[\frac{2}{3} \pi\right]
$$
mi servirebbe il 59 per favore
122
punti
Livello 1
Grafico delle funzioni.
https://www.desmos.com/calculator/pyzurwreh7
Si tratta di ruotare entrambe le curve attorno all'asse delle ascisse. Il volume del solido sarà il volume generato dalla funzione y = √x al quale va sottratto il volume del solido generato dalla funzione y = 2√(x-1)
Determiniamo le coordinate del punto P di intersezione tra le due curve risolvendo il sistema
$ \left\{\begin{aligned} y &= \sqrt{x} \\ y &= 2\sqrt{x-1} \end{aligned} \right. $
la cui soluzione è $ x = \frac{4}{3} \; ∧ \; y = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
1. Volume V₁ del solido generato da y = √x
$ V_1 = \pi \int_0^{\frac{4}{3}} x \, dx $
$ V_1 = \pi \cdot \left. \frac{x^2}{2}\right|_0^{\frac{4}{3}} = \frac{8}{9} \pi $
2.
Volume V₂ del solido generato da y = 2√(x-1)
$ V_2 = \pi \int_1^{\frac{4}{3}} 4x - 4 \, dx $
$ V_2 = \pi ( \left. 2x^2 - 4x \right|_1^{\frac{4}{3}}) = \frac{2}{9} \pi $
3. Il volume V è dato dalla differenza tra V₁ e V₂
$ V = V_1 - V_2 = (\frac{8}{9} - \frac{2}{9} ) \pi = \frac{2}{3} \pi $
21742
punti
Livello 6
