Considera la regione finita di piano limitata dai grafici delle funzioni $y=x^2+1$ e $y=\sqrt{3 x+1}$. Determina il volume del solido generato da una rotazione completa di tale regione di piano:
a. intorno all'asse $x$;
b. intorno all'asse $y$.
$$
\left[\text { a. } \frac{19 \pi}{30} ; \text { b. } \frac{59 \pi}{270}\right]
$$
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
Volume generato dalla rotazione attorno asse x:
{y = x^2 + 1
{y = √(3·x + 1)
[x = 0 ∧ y = 1, x = 1 ∧ y = 2]
punti di intersezione:
[0, 1]
[1, 2]
Differenza di integrali:
pi·√(3·x + 1)^2 = pi·(3·x + 1)
∫(pi·(3·x + 1)) dx =5·pi/2
integrale valutato da x=0 ad x=1
pi·(x^2 + 1)^2 = pi·(x^4 + 2·x^2 + 1)
∫(pi·(x^4 + 2·x^2 + 1)) dx = 28·pi/15
integrale valutato da x=0 ad x=1
Quindi:
5·pi/2 - 28·pi/15 = 19·pi/30
volume di rotazione cercato
-----------------------------
Volume generato dalla rotazione attorno asse y:
y = x^2 + 1---> x = - √(y - 1) ∨ x = √(y - 1)
Quindi differenza di due integrali come sopra
pi·√(y - 1)^2 = pi·(y - 1)
y = √(3·x + 1)---> x = IF(y > 0, (y^2 - 1)/3)
pi·((y^2 - 1)/3)^2 = pi·(y^2 - 1)^2/9
∫(pi·(y - 1)) dy = pi/2
integrale valutato da y=1 ad y=2
∫(pi·(y^2 - 1)^2/9) dy = 38·pi/135
integrale valutato da y=1 ad y=2
Quindi:
pi/2 - 38·pi/135 = 59·pi/270
volume di rotazione cercato
115471
punti
Genius III
