Data la circonferenza di centro $O(0,0)$ e raggio 4, determina il volume del solido generato da una rotazione completa intorno all'asse $x$ del settore circolare, contenuto nel primo quadrante, delimitato dalla circonferenza, dall'asse $x$ e dalla retta passante per l'origine che forma un angolo di $60^{\circ}$ con il semiasse positivo delle ascisse.
$\left[\frac{64 \pi}{3}\right]$
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Due integrali:
x^2 + y^2 = 4^2----> y = - √(16 - x^2) ∨ y = √(16 - x^2)
1° integrale
TAN(60°) = √3---> y = √3·x
pi·(√3·x)^2 = 3·pi·x^2
∫(3·pi·x^2) dx = pi·x^3
valutato da x=0 ad x=2 vale: pi·2^3 = 8·pi
2° integrale
pi·√(16 - x^2)^2 = pi·(16 - x^2)
∫(pi·(16 - x^2) dx= 16·pi·x - pi·x^3/3
valutato da x=2 ad x=4
16·pi·4 - pi·4^3/3= 128·pi/3
16·pi·2 - pi·2^3/3 = 88·pi/3
128·pi/3 - 88·pi/3 = 40·pi/3
Volume solido di rotazione:
8·pi + 40·pi/3 = 64·pi/3
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Genius III
