Considera il segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione $y=x^2$ e dalla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Determina il volume del solido ottenuto dalla rotazione di questo segmento parabolico intorno all'asse $x$.
$$
\left[\frac{2 \pi}{15}\right]
$$
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
$ y = x^2$
$ y = x$
Punti di intersezione tra le due curve O(0, 0) e P(1, 1)
Grafico
Il volume V cercato si ottiene dalla differenza dal volume del cono Vc del volume della parabola Vp attorno all'asse x.
$ Vp = \pi \int_0^1 (x^2)^2 \, dx $
$ Vp = \pi \int_0^1 x^4 \, dx $
$ Vp = \pi \left. \frac{x^5}{5} \right|_0^1 $
$ Vp = \frac{\pi}{5} $
Il volume del solido V del segmento parabolico è
$V = Vc - Vp = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{2}{15}\pi $
21742
punti
Livello 6
