potete aiutarmi con questo?
Determinare il volume del solito generato dalla regione piana delimitata da y=1/(x^2+1), y=2, x=0 e x=1 che ruota attorno a x.
dovrebbe dare 15pi/4 -pi^2/8
potete aiutarmi con questo?
Determinare il volume del solito generato dalla regione piana delimitata da y=1/(x^2+1), y=2, x=0 e x=1 che ruota attorno a x.
dovrebbe dare 15pi/4 -pi^2/8
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Livello 1
Essendo 1/(1+x^2) < 1 < 2 in tutto R e quindi a maggior ragione nell'intervallo [0,1]
puoi procedere per differenza
V = Vs - Vi = TT S_[0,1] 2^2 dx - TT S_[0,1] 1/(x^2 + 1)^2 dx =
= 4 TT [ x ]_[0,1] - TT * S_[0,1] (1 + x^2 - x^2)/(1 + x^2)^2 dx =
= 4 TT - TT [ S_[0,1] 1/(x^2+1) dx - x^2/(1 + x^2)^2 dx ] =
= 4 TT - TT [ arctg*(x)_[0,1] - 1/2 S_[0,1] 2x * x/(1 + x^2)^2 dx ]
ora -2x/(1+x^2) = d/dx (1/(1+x^2)) per cui integrando per parti
= 4TT - TT [ TT/4 + 1/2 x/(1+x^2)_[0,1] - 1/2 S_[0,1] 1*1/(1+x^2) dx ] =
= 4 TT - TT [ TT/4 + 1/2 * 1/2 - 1/2 arctg(x)_[0,1] ] =
= 4 TT - TT [ TT/4 + 1/4 - 1/2 * TT/4 ] =
= 4 TT - TT [ TT/8 + 1/4 ] =
= 4 TT - TT/4 - TT^2/8 =
= 15/4 TT - TT^2/8
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Livello 7
@eidosm Grazie... e invece questo come dovrei risolverlo?
Determinare il volume del solido generato dalla regione triangolare delimitata da (0, -1), (1, 0), (0,1) che ruota attorno all'asse x=2.
il risultato dovrebbe essere 10pi/3, ma io continuo ad ottenere 2pi/3
Dopo aver verificato che la retta x = 2 non attraversa il triangolo, e determinato il baricentro
G = (1/3; 0), che dista d = 2 - 1/3 dall'asse di rotazione, l'area del triangolo é St = 2*1/2 = 1,
per il teorema di Guldino V = St * 2pi (2 - 1/3) = 1* 2pi * 5/3 = 10/3 pi unità cubiche
@eidosm non ci sarebbe un modo per risolverlo con un integrale?
Certo che si può. La retta CB passa per (1,0) e (0,1) e la sua equazione é x + y = 1 =>
y = 1 - x. Siccome il triangolo é isoscele basta prendere il doppio della parte superiore, per cui fisso un y in [0,1]. Ne risulta x = 1 - y. La sezione del solido é un disco con area
TTR^2 - TTr^2 = TT(2^2 - (2-(1-y))^2) e altezza dy
Il volume elementare é allora dV = TT [ 4 - (1+y)^2 ] dy = TT [ 3 - 2y - y^2 ] dy
e V = 2 S_[0,1] TT (3 - 2y - y^2) dy = 2TT [ 3y - y^2 - y^3/3 ]_[0,1] = 2TT (3 - 1 - 1/3) =
= 2TT (9-3-1)/3 = 10/3 TT unità cubiche.