Considera la regione di piano limitata dal grafico della funzione $y=\sin x$ e dall'asse $x$ per $0 \leq x \leq \pi$. Determina il volume del solido generato dalla rotazione di questa regione di piano:
a. intorno all'asse $x$;
b. intorno all'asse $y$.
$$
\left[\mathrm{a} \cdot \frac{\pi^2}{2} ; \mathrm{b} \cdot 2 \pi^2\right]
$$
21/05/2025 21:28
Spiegare gentilmente i ragionamenti, passaggi e argomentare.
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Livello 2
Grafico
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a.
$ V = \pi \int_0^{\pi} sin^2 x \, dx $
$ V = \pi \left. \frac{1}{2} (x-sin(x)cos(x)) \right|_0^{\pi} $
$ V = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$
b.
La funzione y = sin x in [0, π/2] ha come inversa x = arcsin y tra [0, 1]
La funzione y = sin x in [π/2, π] ha come inversa x = π - arcsin y tra [0, 1]
per cui il volume V del solido di rotazione attorno all'asse y sarà
$ V = \pi \int_0^1 (\pi-arcsiny)^2 \, dy - \pi \int_0^1 (arcsiny)^2 \, dy $
$ \pi[ \frac{\pi^2}{4} + 2\pi - 2 - (\frac{\pi^2}{4}-2)] = 2 \pi^2 $
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Livello 6
