Considera la regione finita di piano limitata dai grafici delle funzioni $y=x^2+1$ e $y=\sqrt{3 x+1}$. Determina il volume del solido generato da una rotazione completa di tale regione di piano:
a. intorno all'asse $x$;
b. intorno all'asse $y$. $\left[\right.$ a. $\frac{19 \pi}{30} ;$ b. $\left.\frac{59 \pi}{270}\right]$
21/05/2025 21:27
Spiegare gentilmente i ragionamenti, passaggi e argomentare.
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Livello 2
a. Attorno all'asse x
La formula da adottare prevede la differenza tra i due volumi cioè
$ V = \pi \int_0^1 (\sqrt{3x+1})^2 \, dx - \pi \int_0^1 (x^2+1)^2 \, dx $
$ V = \pi \int_0^1 \sqrt{3x+1} - (x^2+1)^2 \, dx $
$ V = \frac{19\pi}{30}$
b. Attorno all'asse y
Esprimiamo le due funzioni come x(y)
Scegliamo una delle due funzioni, ad esempio y = x²+1 e ri-calcoliamo i punti di intersezione
Se x = 0 allora y =1; se invece x = 1 allora y = 2 (vedi grafico allegato)
$ V = \pi \int_1^2 y + 1 -((y^2-1)/3)^2 \, dy = \frac{599 \pi}{270} $
https://www.desmos.com/calculator/ehkpa0rxwm
Nota: non ho fatto i calcoli dell'integrale ma, il risultato è stato confrontato tra più risolutori. Nella risposta del testo c'è un errore di stampa.
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Livello 6
