[Risolto] Volume di solido di rotazione, integrali

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

a > 0 e b > 0

Rotazione dell'ellisse attorno a x:

Risolvo l'equazione rispetto ad y

y = - √(a^2 - x^2)·(b/a) ∨ y = √(a^2 - x^2)·(b/a)

Calcoliamo l'integrale definito da x = -a ad x = a di 

pi·(√(a^2 - x^2)·(b/a))^2 = pi·b^2·(a^2 - x^2)/a^2

∫(pi·b^2·(a^2 - x^2)/a^2) dx = pi·b^2·x - pi·b^2·x^3/(3·a^2)

per x=a:

pi·b^2·a - pi·b^2·a^3/(3·a^2) = 2·pi·a·b^2/3

per x = -a

pi·b^2·(-a) - pi·b^2·(-a)^3/(3·a^2) = - 2·pi·a·b^2/3

2·pi·a·b^2/3 - (- 2·pi·a·b^2/3) = 4·pi·a·b^2/3

Rotazione dell'ellisse attorno a y:

Risolvo l'equazione rispetto ad x

x = - √(b^2 - y^2)·(a/b) ∨ x = √(b^2 - y^2)·(a/b)

Calcoliamo l'integrale definito da y = -b ad y = b di 

pi·(√(b^2 - y^2)·(a/b))^2 = pi·a^2·(b^2 - y^2)/b^2

Si ottiene analogamente a prima:

∫(pi·a^2·(b^2 - y^2)/b^2) dy =pi·a^2·y - pi·a^2·y^3/(3·b^2)

per y=b

pi·a^2·b - pi·a^2·b^3/(3·b^2)=2·pi·a^2·b/3

per y= -b

pi·a^2·(-b) - pi·a^2·(-b)^3/(3·b^2) = - 2·pi·a^2·b/3

quindi:

2·pi·a^2·b/3 - (- 2·pi·a^2·b/3) = 4·pi·a^2·b/3