Integrali

Problema:

Stabilisci per quali valori del parametro reale $a$ l'integrale $\int_0^1 x^a \ln x dx$  converge, e per tali valori di $a$, calcolare l'integrale.

Soluzione:

In questi casi non è possibile stabilire un procedimento univoco valido per tutto, quindi bisogna andare un po' ad intuito tramite le maggiorazioni e minorazioni.

L'obbiettivo è ritrovarsi un integrale molto semplice dipendente dal parametro, quindi bisogna isolare $x^a$ in qualche modo.

Si deve dunque verificare in $[0,1]$ se $x^a≥x^a\ln x$ oppure se $x^a ≤ x^x \ln x$

Supponendo $x^a≠0$, quindi si considera $x \in (0,1]$ per semplicità, si ottiene $1≥\ln x$ e $1≤\ln x$, poiché la funzione logaritmica è crescente e $\ln (1)=0$, si ha che è necessariamente vera $x^a≥x^a\ln x$.

Per la monotonia dell'integrale è possibile asserire:

$\int_0^1 x^a dx ≥ \int_0^1 x^a \ln x dx$, dunque se $\int_0^1 x^a dx<+\infty$, necessariamente l'integrale richiesto converge essendo minore di esso; graficamente puoi immaginare che l'area richiesta è dentro quella più grande, dunque se l'area più grande è finita, sarà finita anche quella più piccola interna.

Si calcola dunque $\int_0^1 x^a dx$. Se $a=-1$, per gli integrali notevoli si ha che $\int_0^1 x^{-1} dx=0-\lim_{x \to 0^+} \ln x=+∞$, ciò significa che $a=-1$ non è un candidato valido. Allo stesso modo puoi verificare che se $a+1<0 \to a<-1$, si ha che l'integrale diverge dato che appare una $x$ al denominatore con una tendenza a $0$. Resta dunque il caso $a>-1$, $\int_0^1 x^a dx=[\frac{x^{a+1}}{a+1}]_0^1=\frac{1}{a+1}-0<+∞$, ciò che si cercava.

Adesso è necessario individuare $\int_0^1 x^a \ln x dx$, questo integrale si risolve per parti, si ottiene: $\int_0^1 x^a \ln x dx=-\frac{1}{(1+a)^2}$.