Stabilisci per quali valori del parametro reale $\alpha$ l'integrale $\int_e^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^a} d x$ converge e, per tali valori di $\alpha$, calcola l'integrale.
Calcola il seguente integrale, se convergente.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
S_[e,u] dx/(x ln^a(x))
Posto ln(x) = t
dt = dx/x
risulta
S dx/x * 1/ln^a(x) = S t^(-a) dt = t^(-a+1)/(-a+1) + C
1/(1-a) [ 1/ln(x)^(a-1) ]_[e,u] = 1/(1-a) [ 1/ln(u)^(a-1) - 1 ] =
= 1/(a-1) [ 1 - 1/ln^(a-1) (u) ]
L'integrale converge se a > 1 : in questo caso
ln(u) ->+oo se u ->+oo => la potenza di esponente a - 1 > 0
tende a +oo => il reciproco tende a zero => il valore dell'integrale
é 1/(a-1)
58349
punti
Livello 7
