Vettori

@Val3

Utilizziamo il teorema del coseno per determinare l'angolo ottuso formato dai due vettori. 

Imponendo la condizione richiesta, risulta:

radice (3² + 4² - 2*4*3* cos [(arccos (beta)]) = 4

16+9 - 24*cos(beta) = 16

cos(beta) = 9/24

beta = arccos (9/24) = 67,98°

(beta = angolo adiacente all'angolo alfa formato dai due vettori) 

Quindi l'angolo alfa compreso tra i due vettori, supplementare di beta, risulta essere:

alfa = 180 - beta = 180 - arccos (9/24) = 112,02°

Risposta A)

Si applica il teorema di F. Viete (aka del coseno) 

4^2 = 4^2+3^2-2*3*4*cos Θ

16 = 16+9-24*cos Θ

-24*cos Θ = -9

cos Θ = 9/24 = 0,375

Θ = arccos 0,375 = 68°

angolo tra i vettori = 180-68 = 112° (angolo ottuso) 

@val3

Ciao. In alternativa ai metodi risolutivi proposti, ne aggiungo uno.

Considero un vettore u fisso avente componenti [4, 0] e quindi appartenente alla circonferenza:

x^2 + y^2 = 16

ed uno mobile appartenente alla circonferenza:

x^2 + y^2 = 9

quindi , concentrandoci sulla semicirconferenza positiva:

y = - √(9 - x^2) ∨ y = √(9 - x^2)   (risolvi in y!)

il vettore mobile è definito dalle componenti:

[x, √(9 - x^2)]

Il vettore che ne risulta dai due assegnati ha quindi componenti:

[4+x, √(9 - x^2)]

Pertanto la risposta corretta riguarderà il fatto di decidere se la x risultante sia del 1° o del 2° quadrante

Deve essere:

√((4 + x)^2 + √(9 - x^2)^2) = 4

(4 + x)^2 + √(9 - x^2)^2 = 4^2

(x^2 + 8·x + 16) + (9 - x^2) = 16

8·x + 25 = 16

x = - 9/8 -------> 2° quadrante angolo ottuso

La risposta corretta è la a), perché solo

se l’angolo fra i due vettori è ottuso si può ottenere un parallelogramma in cui la diagonale che rappresenta la somma ha lo stesso modulo di uno dei due addendi. 

Risulta    b = 4 cos @ i + 4 sin @ j 

a = 3 i

a + b = (3 + 4 cos @) i + 4 sin @ j 

|a + b|^2 = 9 + 16 cos^2(@) + 24 cos @ + 16 sin^2(@) = 16 

25 + 24 cos @ = 16 

cos @ = (16 - 25)/24 = -3/8 

il coseno é negativo per angolo ottuso.

Risposta A.

A ciò che possiamo affermare ci penso fra un po' e intanto mi occupo di ciò che dobbiamo negare (prima il dovere ...): dobbiamo negare le opzioni b, c, e in quanto
b) √(3^2 + 4^2) = 5 != 4
c) 4 - 3 = 1 != 4
e) 4 + 3 = 7 != 4
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Così resta da decidere se l'angolo convesso positivo θ (la sola possibilità residua, avendo escluso gli angoli nullo, retto e piatto.) sia più o meno ampio di un angolo retto.
Con riferimento al parallelogramma ABCD della somma vettoriale con angoli acuti in A e C ed ottusi in B e D si considerano le due diagonali: AC, quella maggiore dei lati, rappresenta la somma del lati intesi con la cocca nel vertice di un angolo acuto.
QUINDI L'OPZIONE CORRETTA E' LA PRIMA: "a. formano un angolo ottuso".