[Risolto] elisse tangente

Il problema é semplice. 

yo = 1 

e da 4 xo + 5* 1 - 21 = 0

si deduce 4xo = 21 - 5 

xo = 16/4 = 4

Così il punto di tangenza é  Po = (4,1).

Sostituendo in x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

risulta 

16/a^2 + 1/b^2 = 1     ( questa serve solo per riscontro )

mentre la formula dello sdoppiamento 

xo x/a^2  yo y/b^2 = 1

4x/a^2 + y/b^2 = 1

deve riprodurre 

4x + 5y = 21

ovvero 

4/21 x + 5/21 y = 1

da cui per confronto 

4/a^2 = 4/21 => 1/a^2 = 1/21

1/b^2 = 5/21

e infine l'equazione richiesta risulta 

x^2/21 + 5y^2/21 = 1

x^2 + 5y^2 = 21

Il titolo e l'incipit ("elisse tangente | un elisse riferita") gridano vendetta al cospetto del tuo Consiglio di Classe.
ELLISSE è femminile e vuole le doppie sempre e l'apostrofo quando occorre, come hai scritto alla fine ("equazione dell'ellisse").
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L'equazione di ogni ellisse Γ riferita al centro e agli assi, con semiassi (a, b), ha la forma
* Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
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La retta
* t ≡ 4*x + 5*y - 21 = 0 ≡ y = (21 - 4*x)/5
passa per il punto T(4, 1), "punto di ordinata 1".
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"tangente del punto di ordinata 1 alla retta 4x + 5y -21 = 0"
Il sistema
* (y = (21 - 4*x)/5) & ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1)
ha risolvente
* (x/a)^2 + (((21 - 4*x)/5)/b)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (16*a^2 + 25*b^2)*x^2 - (168*a^2)*x + (441 - 25*b^2)*a^2 = 0
con discriminante
* Δ(a, b) = (16*a^2 + 25*b^2 - 441)*(10*a*b)^2
che, per la tangenza, dev'essere zero
* 16*a^2 + 25*b^2 - 441 = 0 ≡
≡ b = √(441 - 16*a^2)/5
da cui
* Γ(a) ≡ (x/a)^2 + (y/(√(441 - 16*a^2)/5))^2 = 1
infine il fatto che la tangenza avvenga in T impone il vincolo
* (4/a)^2 + (1/(√(441 - 16*a^2)/5))^2 = 1
da cui
* a = √21
* b = √(441 - 16*21)/5 = √105/5
* Γ ≡ (x/√21)^2 + (y/(√105/5))^2 = 1 ≡
≡ x^2 + 5*y^2 - 21 = 0