[Risolto] Vertici triangolo rettangolo e equazione circonferenza circoscritta

@beppe

Ciao.

Essendo ABC triangolo rettangolo (in C) indica che esso è inscrivibile in una circonferenza di diametro AB.

Determiniamo le coordinate di A e di B

Quindi B:

{x - 5·y + 14 = 0

{y = 3·x - 14

Risolvo ed ottengo:[x = 6 ∧ y = 4]------> B(6,4)

Informazione: A ha ordinata negativa, quindi è B!

Il generico punto appartenente al diametro AB ha coordinate [x, 3·x - 14]. Per trovare A quindi scrivo:

AB=√((x - 6)^2 + (3·x - 14 - 4)^2) = 4·√10

risolvo l'equazione irrazionale:

10·(x - 6)^2 = 160-----> x = 10 ∨ x = 2

quindi

[10, 3·10 - 14]-----> [10, 16] NO

[2, 3·2 - 14]-------> [2, -8] SI (ordinata negativa!)----> A(2,-8)

A questo punto potrei anche infischiarmene di determinare C, per il calcolo della sola circonferenza!

Infatti : r = 2·√10 (metà di AB)

Punto medio:

{x = (6 + 2)/2

{y = (4 - 8)/2

quindi: O(4, -2) centro della circonferenza. Equazione cartesiana:

(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = (2·√10)^2

(x^2 - 8·x + 16) + (y^2 + 4·y + 4) = 40

x^2 - 8·x + y^2 + 4·y - 20 = 0

Quindi per determinare l'ultimo vertice C:

{x^2 + y^2 - 8·x + 4·y - 20 = 0

{x - 5·y + 14 = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 6 ∧ y = 4, x = - 2/13 ∧ y = 36/13]

C(-2/13,36/13)