VERIFICA DI LIMITI CON APPLICAZIONE DELLA DEFINIZIONE

Svolgo quello con la definizione più inusuale dato che i procedimenti grossomodo sono i medesimi; se riscontri problemi nella parte di conto le difficoltà non risiedono nei limiti ma in argomenti precedenti.

Prima di risolvere questo esercizio assicurati di aver compreso bene le definizioni di limite (ne basta una compresa per comprenderle tuttte); generalmente sui testi delle superiori ci sono anche le illustrazioni che aiutano molto.

Problema:

Verifica il seguente limite mediante la relativa definizione.

$$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\sqrt{x-2}}=+∞$$

Soluzione:

Prima di procedere con i conti è necessario individuare la definizione adatta per il limite dato. Il limite è un limite destro $x_0^+$ a valore infinito, quindi la sua definizione è la seguente:

$$\lim_{x \to x_0^+} f(x)=+∞ \iff \forall M>0 \exists \delta >0 : x \in (x_0, x_0+\delta) \implies f(x)>M$$

Si noti che $M$ è un numero molto grande positivo e $f(x)>M$ significa che il grafico è sopra la retta $y=M$ nell'intervallo dato.

$\delta$  è un numero positivo molto piccolo, infatti $(x_0, x_0+\delta)$ è l'intervallo destro di $x_0$. Si mediti su ciò prima di procedere.

Sostituendo si ottiene:

$$\forall M>0 \exists \delta >0 : x \in (2, 2+\delta) \implies \frac{1}{\sqrt{x-2}}>M$$

Si studia l'implicato per vedere se è vero l'implicante.

$\frac{1}{\sqrt{x-2}}>M$

Si noti che $x>2$ per le condizioni d'esistenza. Poiché la radice è positiva, si può scrivere

$1>\sqrt{x-2}M$

Poiché $M>0$ per definizione

$\frac{1}{M}>\sqrt{x-2}>0$

$(\frac{1}{M})^2>x-2>0$

$\frac{1}{M^2}+2>x>2$

Poiché $M$ è un numero molto grande, si ha che $\frac{1}{M^2}$ è un numero molto piccolo (verificalo con la calcolatrice se hai dubbi), ossia $\delta$.

Si ha quindi che $\delta +2>x>2$, ossia $x \in (2, 2+\delta)$.

Voglio rassicurarti sul fatto che dopo la verifica probabilmente non rivedrai mai più esercizi del genere, ma questi sono essenziali per comprendere bene il concetto di limite. Le definizioni non vanno imparate a memoria, ma vanno comprese; molti studenti odiano questo genere di esercizi proprio perché non si soffermano sul comprendere a pieno le definizioni.

Se hai altre difficoltà non esitare a chiedere, conviene risolverle subito 🙂