DERIVATE

L'idea è quella di trovare la retta tangente nei punti i quali la derivata risulta essere il coefficiente angolare di $r$ e $s$ e poi compararla a $r$ ed $s$ per vedere se sono rette coincidenti oppure solo parallele, poniamo il coefficiente angolare uguale alla derivata di $f(x)=x^3-2x^2+x+1$ perché se non lo fosse la retta non potrebbe essere coincidente. Iniziamo calcolando $f'(x)=2x^3-4x+1$, quindi poniamo $2x^3-4x+1=5$ da cui $x=\frac{2\pm 4}{3}= 2,\ -\frac{2}{3}$, poniamo anche $2x^3-3x+1=21$ e otteniamo $x=\frac{2 \pm 8}{3}=-2,\ \frac{10}{3}$. Adesso troviamo le rette tangenti in corrispondenza di $x=2,-\frac{2}{3}-2,\frac{10}{3}$ e vediamo se alcune di queste corrispondono ad $r$ o $s$, vediamo prima se abbiamo corrispondenze per $r$:

$y-f(2)=f'(2)(x-2)$

$f(2)=2^3-2\cdot 2^2+2+1=3$, mentre $f'(2)=5$ dalle implicazioni dell'equazione

$y-3=5(x-2)$

$y=5x+7$

che è solamente parallela ad $r$, proviamo con $x=-\frac{2}{3}$:

$y-f(-\frac{2}{3})=f'(-\frac{2}{3})(x+\frac{2}{3})$

$f(\frac{2}{3})=(\frac{2}{3})^3-2(\frac{2}{3})^2+\frac{2}{3}+1=-\frac{23}{27}$

$y+\frac{23}{27}=5(x+\frac{2}{3})$

$y=5x+\frac{67}{27}$

che ancora una volta è solo parallela.

Proviamo ora con la retta $s$:

$y-f(-2)=f'(-2)(x+2)$

$f(-2)=-2^3-2\cdot(-2)^2-2+1=-17$

$y+17=21(x+2)$

$y=21x+25$

che è coincidente ad $s$, quindi la retta $s$ tange la curva $f(x)$ nel punto $(-2,-17)$ (non è necessario verificare che sia tangente anche in $x=-\frac{2}{3}$ - comunque non lo è - quello significherebbe solo che due punti hanno la stessa retta tangente, inversamente infatti prima è servito verificare per entrambi i punti anche se il primo aveva fallito il suo test di coincidenza).