DERIVATE

Problema:

Trovare una funzione $g$, il cui insieme di definizione sia un qualsiasi intervallo contenente $0$, tale che:

$g(0)=0$

$g^{(1)}(0)=0$

$g^{(2)}(0)=0$

$g^{(3)}(0)=1$

$g^{(4)}(0)=1$

$g^{(5)}(0)=1$

Soluzione:

Generalmente questi quesiti vanno risolti ad intuito, ma è comunque possibile ottenere delle opzioni tra cui scegliere osservando le funzioni che vengono studiate alla superiori: polinomi, esponenziali, goniometriche.

I polinomi completi converrebbe escluderli dato che valutati in $0$ offrono solo il coefficiente del termine noto. Però ciò è aggirabile facilmente partendo dal termine in $x²$.

Infatti si ha, banalmente, che $g(x)=\frac{x⁵}{120}+\frac{x⁴}{24}+\frac{x³}{6}+x²$. Questa funzione rispetta le caratteristiche richieste.

Si procede comunque per trovare anche altre alternative a questa funzione.

Le esponenziali potrebbero essere una valida alternativa dato che $e^0=1$, bisognerebbe però modificare la funzione per ottenere $0$ fino alla derivata seconda.

Lo stesso vale per le goniometriche dato che $\cos (0)=1$, converrebbe però escluderle per la variazione dei segni e per la ciclicità.

Un modo per modificare l'esponenziale è moltiplicarlo per un monomio.

Si prova con $g(x)=xe^x$. La sua derivata prima è $e^x+xe^x$, questa valutata in $0$ fa $1$, quindi bisognerebbe trovare il modo di annullare il primo termine; ciò può essere fatto aumentando il grado del mononio. 

Si prova quindi $g(x)=x²e^x$, la sua derivata prima è $2xe^x+x²e^x$ e valutata in $0$ restituisce $0$. Si procede con la derivata seconda $2e^x+4xe^x+x²e^x$, questa valutata in $0$ restituisce $2 \neq 0$. Ciò può essere sistemato aggiungendo a $g(x)$ un $-x²$ dato che $2x² \to -2x \to -2$. Inoltre è necessario aggiungere anche $\frac{-5x³}{6}-\frac{11}{6}\frac{6x⁴}{24}-\frac{19}{7}\frac{7x⁵}{120}$ per ridurre a uno i coefficienti davanti l'esponenziale.

La funzione richiesta è dunque $g(x)=x²e^x-x²-\frac{5x³}{6}-\frac{11}{6}\frac{6x⁴}{24}-\frac{19}{7}\frac{7x⁵}{120}$

Infatti:

$g'(x)=2xe^x+x²e^x-2x -\frac{15}{6}x²-\frac{11}{12}x³- \frac{19}{7}\frac{35}{120}x⁴ \to_{x=0} 0$

$g^{(2)}(x)= 2e^x+4xe^x+x²e^x-2-5x-\frac{11}{6}3x²- \frac{19}{7}\frac{7}{6}x³ \to_{x=0} 0$

$g^{(3)}(x)= 6e^x+6xe^x+x²e^x-5-11x-\frac{19}{7}\frac{21}{6}x² \to_{x=0} 6-5=1$

$g^{(4)}(x)=12e^x+8xe^x+x²e^x-11-19x \to_{x=0} 1$

$g^{(5)}(x)=20e^x+10xe^x+x²e^x-19 \to_{x=0} 1$

I coefficienti davanti ai monomi generalmente si deducono per tentativi vedendo il valore in uscita davanti l'esponenziale, quindi l'espressione finale è 

$g(x)=x²e^x-x²-\frac{5x³}{6}-\frac{11x⁴}{24}-\frac{19x⁵}{120}$.

Un altro metodo consiste nel generalizzare la derivata $n$-esima di $g(x)=x^ne^x$, da lì è possibile descrivere in funzione di $n$ anche i coefficienti dei monomi aggiunti. Lascio ciò come esercizio al lettore.

Si noti inoltre che le due funzioni individuate si intersecano in esattamente 3 punti, sarà un caso? Anche i valori unitari delle derivate $n$-esime sono 3. Si lascia l'approfondimento al lettore per smentire o confermare questa strampalata ipotesi dedotta solamente dalla valutazione in un punto e non in tutti; è un utile esercizio per imparare il "matematichese".