DERIVATE

Iniziamo individuando il punto in cui la curva tange la retta calcolando la sua ordinata tramite l'equazione $y_p=7x_p-9$ con $x_p=1$, risolvendo otteniamo $y_p=7-9=-2$. Ora poniamo il passaggio di $f(x)$ per questo punto, ovvero imponiamo che il punto $P(1,-2)=(1,f(1))$:

$-2=1|a\cdot 1^2 +b| -3$

$|a+b|=1$

$a+b= \pm 1$

Sapendo che la curva tange $P$ nella retta $7x-9$ dobbiamo avere che $y+2 =f'(1)(x-1)$, allora dobbiamo porre $f'(1)=7$ perché il coefficiente angolare della tangente deve essere uguale a $f'(x_p)$.

Allora deriviamo $f(x)$:

$f(x)=x|ax^2+b|-3 \implies  f'(x) = |ax^2+b| +x(|ax^2+b|)'$ per la regola del prodotto, quindi $f'(x)=|ax^2+b|+x\frac{2ax(ax^2+b)}{|ax^2+b|}=|ax^2+b|+\frac{2ax^2(ax^2+b)}{|ax^2+b|}$ per la regola della catena (ricorda che $\frac{d}{dx} |x| = \frac{x}{|x|}$).

Allora torniamo alla condizione di tangenza:

$f'(1)=7$

$|a \cdot 1^2 +b| + \frac{2a \cdot 1^2(a \cdot 1^2 +b)}{|a \cdot 1^2 +b |}= |a+b| + \frac{2a(a+b)}{|a+b|}=7$

Se ricordi, quando abbiamo posto il passaggio per $P$, abbiamo calcolato che $|a+b|=1$, quindi sostituiamo questo valore qui $1+ \frac{2a(a+b)}{1}=7$, allora abbiamo che $a(a+b)=3$, ma poco fa abbiamo scoperto che $a+b= \pm 1$, quindi le nostre possibilità sono $a=3$ oppure $a=-3$, da cui ricaviamo rispettivamente $b=-2,\ b=2$. Se sei curioso, il grafico è esattamente lo stesso per $(a,b)=(3,-2) \lor (a,b)=(-3,2)$, perché $x|3x^2-2|-3=x|-3x^2+2|-3$

$|3x^2-2|=|-3x^2+2|$ è vero per $x \in \mathbb{R}$, dato che il valore assoluto è una funzione pari (gli argomenti dei valori assoluti sono opposti).

Per completezza, questo è l'aspetto del problema risolto.