[Risolto] verifica di identita trigonometriche

ESERCIZI SVOLTI

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un esercizio

VERIFICARE LA SEGUENTE IDENTITA'
$\frac{\sin (a)+\tan (a)}{1+\cos (a)}=\frac{1+\sin (a)}{\cos (a)+\cot (a)}$

Ricordiamo innanzitutto le definizioni di tangente e cotangente:
$$
\begin{aligned}
& \tan (a)=\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \\
& \cot (a)=\frac{\cos (a)}{\sin (a)}
\end{aligned}
$$
e, concedimelo, per abbreviare un po' la scrittura di tutti i passaggi indicherò
$$
\begin{aligned}
& S=\sin (a) \\
& C=\cos (a)
\end{aligned}
$$

Pronti, via! Possiamo riscrivere l'identità nella forma
$$
\frac{S+\frac{S}{C}}{1+C}=\frac{1+S}{C+\frac{C}{S}}
$$
calcolando il denominatore comune a numeratore a sinistra dell'uguale e a denominatore a destra dell'uguale
$$
\frac{\frac{S C+S}{C}}{1+C}=\frac{1+S}{\frac{S C+C}{S}}
$$
cioè
$$
\begin{aligned}
& \frac{S C+S}{C(1+C)}=\frac{S(1+S)}{S C+C} \\
& \frac{S C+S}{\left.C+C^2\right)}=\frac{S+S^2}{S C+C}
\end{aligned}
$$

Ora moltiplichiamo entrambi i membri per $S C+C$
$$
\frac{(S C+C)(S C+S)}{\left.C+C^2\right)}=S+S^2
$$
e per $C+C^2$
$$
(S C+C)(S C+S)=\left(S+S^2\right)\left(C+C^2\right)
$$

Sviluppiamo i prodotti
$$
S C+S^2 C+S C^2+S^2 C^2=S C+S^2 C+S C^2+S^2 C^2
$$

Abbiamo finito: l'identità è verificata

ALTRO ESERCIZIO

Vogliamo verificare l'identità
$$
\frac{1}{2-\sin ^2 x}=\frac{1+\tan ^2 x}{2+\tan ^2 x}
$$

Poiché è indifferente decidiamo di lavorare solo sul secondo membro in modo da ricondursi al primo:
$$
\frac{1+\tan ^2 x}{2+\tan ^2 x}
$$

Sfruttiamo la relazione che lega la tangente al seno e coseno (la definizione di tangente di un angolo)
$$
\frac{1+\frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}}{2+\frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}}
$$

Portiamo il coseno in seno tramite la relazione fondamentale della goniometria (formule trigonometriche):
$$
\sin ^2 x+\cos ^2 x=1 \quad \rightarrow \quad \cos ^2 x=1-\sin ^2 x
$$

Sostituiamo
$$
\frac{1+\frac{\sin ^2 x}{1-\sin ^2 x}}{2+\frac{\sin ^2 x}{1-\sin ^2 x}}
$$

Adesso un semplice passaggio algebrico
$$
\frac{\frac{1-\sin ^2 x+\sin ^2 x}{1-\sin ^2 x}}{\frac{2-2 \sin ^2 x+\sin ^2 x}{1-\sin ^2 x}}
$$
riscriviamo la frazione di frazioni come un'unica frazione, semplifichiamo e svolgiamo le operazioni di addizione e sottrazione:
$$
\frac{1}{2-\sin ^2 x}
$$

Ma questo è il primo membro della nostra identità: abbiamo finito!