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[Risolto] Verifica del grafico di una funzione

  

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Verificare che il grafico della funzione
$$
F(x)=2+\frac{1}{2} x-\int_{0}^{x} \sqrt{\ln \left(t^{2}+1\right)+4} d t
$$
ammette un punto di flesso di ascissa $x=0$ e ricavare l'equazione della retta tangente in tale punto.

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RIPASSO
Il grafico della funzione f(x) ammette un punto di flesso P(k, f(k)) se e solo se f''(k) = 0.
La retta "t" tangente in tale punto è
* t ≡ y = f(k) + (x - k)*f'(k)
------------------------------
Per la RISOLUZIONE occorre e basta calcolare le due prime derivate della funzione F(x) data e valutarle, insieme alla F(x), nell'origine.
---------------
Da
* F(x) = 2 + x/2 - ∫ [t = 0, x] (√(ln(t^2 + 1) + 4))*dt
si ha prima
* F'(x) = d/dx (2 + x/2 - ∫ [t = 0, x] (√(ln(t^2 + 1) + 4))*dt) =
= d/dx 2 + d/dx x/2 - d/dx (∫ [t = 0, x] (√(ln(t^2 + 1) + 4))*dt) =
= 0 + 1/2 - √(ln(x^2 + 1) + 4) =
= 1/2 - √(ln(x^2 + 1) + 4)
e poi
* F''(x) = d/dx (1/2 - √(ln(x^2 + 1) + 4)) =
= d/dx 1/2 - d/dx √(ln(x^2 + 1) + 4) =
= 0 - x/((x^2 + 1)*√(ln(x^2 + 1) + 4)) =
= - x/((x^2 + 1)*√(ln(x^2 + 1) + 4))
---------------
Le valutazioni
* F(0) = 2 + 0/2 - ∫ [t = 0, 0] (√(ln(t^2 + 1) + 4))*dt = 2
* F'(0) = 1/2 - √(ln(0^2 + 1) + 4) = - 3/2
* F''(0) = - 0/((0^2 + 1)*√(ln(0^2 + 1) + 4)) = 0
verificano l'esistenza del flesso nell'origine e determinano la tangente di flesso
* t ≡ y = f(0) + (x - 0)*f'(0) ≡
≡ y = 2 - 3*x/2 ≡
≡ y = (4 - 3*x)/2

 




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La funzione integranda

$$
f(x)=\sqrt{\ln \left(x^{2}+1\right)+4}
$$

è definita e continua su tutto $R$, quindi per il teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione integrale

$$
y(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{\ln \left(t^{2}+1\right)+4} d t
$$

è ovunque derivabile in $R$ con derivata

$$
y^{\prime}(x)=\sqrt{\ln \left(x^{2}+1\right)+4}
$$

in tutto $R$. Anche la funzione assegnata $F(x)$, poiché è somma di funzioni derivabili su $R$, è derivabile su $R$ con derivata

$$F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\sqrt{\ln \left(x^{2}+1\right)+4}$$

Questa è ancora una funzione derivabile, con derivata:

$$F^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{2 \sqrt{\ln \left(x^{2}+1\right)+4}} \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \cdot 2 x=-\frac{x}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{\ln \left(x^{2}+1\right)+4}}
$$

La derivata seconda di $F(x)$ si annulla in $x=0$, è negativa per $x>0$ e positiva per $x<0$ quindi la funzione $F(x)$ ha un punto di flesso di ascissa $x=0 .$ La retta tangente al grafico di $F(x)$ nel suo punto di flesso ha equazione:

$$
y-F(0)=F^{\prime}(0) \cdot(x-0) \rightarrow y-2=\left(\frac{1}{2}-2\right) x \rightarrow y=-\frac{3}{2} x+2
$$



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