[Risolto] Verifica che P appartiene alla circonferenza e determina l`equazione della tangente in P

Hai diverse possibilità di risoluzione. Utilizzi formule di sdoppiamento ad esempio, oppure retta perpendicolare al raggio per il punto di tangenza come suggerito in figura allegata.

In figura: A=P(-1,-2).verifico l'appartenenza alla circonferenzax^2 + y^2 + 5·x = 0

(-1)^2 + (-2)^2 + 5·(-1) = 0-------> 0 = 0 OK!

Il centro C è C(-5/2,0) il raggio è r=5/2

Il coefficiente angolare del segmento CP è:

m=(0 + 2)/(- 5/2 + 1) = - 4/3

La retta tangente per P(-1,-2) è perpendicolare a tale segmento quindi m'=-1/m=3/4

La retta è: y + 2 = 3/4·(x + 1)-------> y = 3·x/4 - 5/4

Ponendo x = - 1 e y = -2 trovi

1 + 4 + 5*(-1) = 5 - 5 = 0

Il centro si trova in (-a/2, -b/2) = (-5/2; 0)

per cui il coefficiente angolare del raggio OP é

mr = (0 + 2)/(-5/2 + 1) = 2 : (-3/2) = -4/3

Così mt = -1/mr = 3/4

e la retta tangente richiesta ha equazione

y + 2 = 3/4 ( x + 1 )

y = 3/4 x - 5/4

https://www.desmos.com/calculator/cgzms7svvh

Sono dati il punto P(- 1, - 2) e la circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 5*x = 0
e si chiede la retta tangente Γ in P, sempre che P sia su Γ.
La risoluzione consiste dello sdoppiamento di Γ rispetto a P ottenendo la retta polare del polo P
* p ≡ - x - 2*y + 5*(x - 1)/2 = 0 ≡ y = (3*x - 5)/4
seguito dall'esame del sistema
* p & Γ ≡ (y = (3*x - 5)/4) & (x^2 + y^2 + 5*x = 0)
di risolvente
* x^2 + ((3*x - 5)/4)^2 + 5*x = 0 ≡
≡ (25/16)*(x^2 + 2*x + 1) = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 = 0
con discriminante Δ = 0, in quanto quadrato di binomio a primo membro.
Con Δ < 0, p sarebbe stata esterna a Γ e P all'interno.
Con Δ > 0, p sarebbe stata secante Γ e P all'esterno.
Ma Δ = 0: quindi P è su Γ e p è la tangente richiesta.