[Risolto] Equazioni delle rette

Anche qui hai diverse possibilità. Ad esempio attraverso le formule di sdoppiamento determinando la polare ( metodo apprezzato da @exprof )

Calcolo polare:

formule di sdoppiamento

9·x + 0·y - 6·(x + 9)/2 - 4·(y + 0)/2 + 9 = 0

6·x - 2·y = 18

Metto a sistema:

{x^2 + y^2 - 6·x - 4·y + 9 = 0

{6·x - 2·y = 18

risolvo per sostituzione: y = 3·x - 9

x^2 + (3·x - 9)^2 - 6·x - 4·(3·x - 9) + 9 = 0

10·x^2 - 72·x + 126 = 0

2·(x - 3)·(5·x - 21) = 0

x = 21/5 ∨ x = 3

y = 3·3 - 9--------> y = 0      (3,0)

y = 3·(21/5) - 9----> y = 18/5     (21/5, 18/5)

una retta tangente è y=0

L'altra retta --

m = (18/5 - 2)/(21/5 - 3)------> m = 4/3

Retta ad essa perpendicolare: m' = - 3/4

y - 18/5 = - 3/4·(x - 21/5)

y = 27/4 - 3·x/4

La generica retta per P ha equazione y = m(x - 9)   oppure x = 9

Il centro ed il raggio si possono determinare riscrivendo

x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 = 4

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 2^2

da cui C = (3;2) e r = 2

Dunque la distanza della tangente mx - y - 9m = 0

dal centro deve essere uguale al raggio :

|3m - 2 - 9m|/sqrt(m^2 + 1) = 2

|6m + 2| = 2 sqrt(m^2 +1 )

|3m + 1| = sqrt(m^2 + 1)

9m^2 + 6m + 1 = m^2 + 1

8m^2 + 6m = 0

2m(4m + 3) = 0

m = 0 V m = -3/4

y = 0   V y = -3/4 (x - 9)

https://www.desmos.com/calculator/wwjbtuvckz

Sono dati il punto P(9, 0) e la circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 6*x - 4*y + 9 = 0
e si chiedono le retta tangenti Γ per P, sempre che P sia esterno a Γ.
La risoluzione consiste dello sdoppiamento di Γ rispetto a P ottenendo la retta polare del polo P
* p ≡ 9*x + 0*y - 6*(x + 9)/2 - 4*(y + 0)/2 + 9 = 0 ≡ y = 3*(x - 3)
seguito dall'esame del sistema
* p & Γ ≡ (y = 3*(x - 3)) & (x^2 + y^2 - 6*x - 4*y + 9 = 0)
di risolvente
* x^2 + (3*(x - 3))^2 - 6*x - 4*(3*(x - 3)) + 9 = 0 ≡
≡ 10*x^2 - 72*x + 126 = 0
con discriminante Δ = 144 > 0, quindi P è esterno a Γ e p la interseca nei punti di tangenza
* A(3, 0), B(21/5, 18/5)
e le tangenti richieste sono le congiungenti
* PA ≡ y = 0
* PB ≡ y = - (3/4)*(x - 9)
Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2By%5E2-6*x-4*y%2B9%3D0%2C%283*%28x-3%29-y%29*y*%28-y-%283%2F4%29*%28x-9%29%29%3D0%5Dx%3D0to10