[Risolto] Veloce problema sui fasci di circonferenze.

Vado in ordine inverso.
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1) "Ma k cosa moltiplica?" NULLA. Perché pensi che dovrebbe moltiplicare qualcosa?
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2) "È evidente ... che una delle sue generatrici è x^2 +y^2 +2x -4y" EVIDENTE UNA CIPPA!
Generatrici di un fascio di circonferenze sono le equazioni di due circonferenze del fascio tali che quella di qualunque altra si possa esprimere come combinazione lineare, con coefficienti reali non entrambi nulli nè opposti, di quelle due. Invece il polinomio "x^2 +y^2 +2x -4y", non essendo un'equazione di circonferenza, non può evidentemente essere una generatrice.
L'affermazione "Sto studiando i fasci di circonferenze" ha ancora bisogno di qualche precisazione.
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3) "quali sono le generatrici del fascio x^2+y^2+2x-4y+k=0?" DOMANDA INSENSATA.
Non esistono "le generatrici" con l'articolo determinativo, secondo la definizione sub 2).
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Il fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + 2*x - 4*y + k = 0 ≡
≡ x^2 + 2*x + y^2 - 4*y + k = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 - 1^2 + (y - 2)^2 - 2^2 + k = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 1^2 - 2^2 + k = 0 ≡
≡ Γ(k) ≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 - k
ha
* centro fisso C(- 1, 2)
* raggio parametrico r(k) = √(5 - k)
e genera
* per k < 5, circonferenze reali non degeneri;
* per k = 5, una circonferenza reale degenere su C;
* per k > 5, circonferenze non reali.
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Due circonferenze del fascio
* Γ(- 4) ≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 ≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 9 = 0
* Γ(+ 4) ≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 ≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 = 0
Una loro combinazione lineare con coefficienti reali non entrambi nulli nè opposti
* Γ(a, b) ≡ a*((x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 9) + b*((x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 1) = 0 ≡
≡ a*(x + 1)^2 + a*(y - 2)^2 - a*9 + b*(x + 1)^2 + b*(y - 2)^2 - b*1 = 0 ≡
≡ a*(x + 1)^2 + b*(x + 1)^2 + a*(y - 2)^2 + b*(y - 2)^2 - a*9 - b*1 = 0 ≡
≡ (a + b)*(x + 1)^2 + (a + b)*(y - 2)^2 = 9*a + b ≡
≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = (9*a + b)/(a + b)
Tali che quella di qualunque altra si possa esprimere ...
* (5 - k = (9*a + b)/(a + b)) & (a + b != 0) & (a*b != 0) ≡
≡ k = 4*(b - a)/(a + b)
QED