Una variabile aleatoria continua $X$ ha densità:
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{4} x+\frac{1}{4} & 0 \leq x \leq 2 \\
0 & \text { altrimenti }
\end{array}\right.
$$
Determina:
a. la probabilità che risulti $\frac{1}{2} \leq X \leq 1$;
b. la media di $X$;
c. la varianza di $X$;
d. la deviazione standard di $X$.
[a. $\frac{7}{32}$;
b. $\frac{7}{6}$;
c. $\frac{11}{36}$;
d. $\frac{\sqrt{11}}{6}$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
f(x) = 1/4·x + 1/4
Verifichiamo che l'integrale valutato da x=0 ad x=2 fornisca 1
∫(1/4·x + 1/4) dx = x^2/8 + x/4
2^2/8 + 2/4 = 1
0^2/8 + 0/4 = 0
1 - 0 = 1 OK!!
x^2/8 + x/4 valutato da x = 1/2 ad x = 1 fornisce la probabilità richiesta:
P(1/2 ≤ X ≤ 1))
1^2/8 + 1/4 = 3/8
(1/2)^2/8 + 1/2/4 = 5/32
3/8 - 5/32 = 7/32
∫(x·(1/4·x + 1/4))dx = x^3/12 + x^2/8
valutato da x = 0 ad x = 2 fornisce il valore medio
2^3/12 + 2^2/8= 7/6
0^3/12 + 0^2/8 = 0
μ = 7/6 - 0 = 7/6
∫(x^2·(1/4·x + 1/4)) dx = 5/3
se valutato da x=0 ad x=2
σ^2 = 5/3 - (7/6)^2----> σ^2 = 11/36 la varianza
σ = √(11/36)----> σ = √11/6 la deviazione standard
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Genius III
