[Risolto] Sistemi

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Metodo di riduzione:

$\small \begin{Bmatrix}
(x+2y)^2-x(x-1)-y(1+4y) & = & 3+4xy \\
\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{5} & = & \dfrac{3}{4}y
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x^2+4xy+4y^2-x^2+x-y-4y^2 & = & 3+4xy \\
10+4x & = & 15y \quad(mcm=20)
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
\cancel{x^2}+4xy\cancel{+4y^2}\cancel{-x^2}+x-y\cancel{-4y^2} & = & 3+4xy \\
4x-15y & = & -10
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
4xy+x-y & = & 3+4xy \\
4x-15y & = & -10
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
\cancel{4xy}+x-y\cancel{-4xy} & = & 3 \\
4x-15y & = & -10
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x-y& = & 3 \\
4x-15y & = & -10
\end{Bmatrix}$

per annullare la "x" moltiplica la 1° equazione per -4 e poi somma i membri come segue:

$\small \begin{Bmatrix}
-4x+4y& = & -12 \\
4x-15y & = & -10 \\\hline
0x-11y&=& -22
\end{Bmatrix}$

per cui:

$\small -11y=-22$

calcola la "y":

$\small 11y = 22$

$\small \dfrac{\cancel{11}y}{\cancel{11}} = \dfrac{22}{11}$

$\small y= 2$

ora per calcolare la "x" sostituisci la "y" trovata nella 2° equazione, dal 3° passaggio:

$\small 4x-15y = -10$

$\small 4x-15·2 = -10$

$\small 4x-30 = -10$

$\small 4x = -10+30$

$\small 4x = 20$

$\small \dfrac{\cancel4x}{\cancel4} = \dfrac{20}{4}$

$\small x= 5$ 

quindi risulta:

$\small x= 5 \land y=2$

Verifica sostituendo i valori trovati alle incognite nel sistema originario:

$\small \begin{Bmatrix}
(5+2·2)^2-5(5-1)-2(1+4·2)& = & 3+4·5·2 \\
\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{5} & = & \dfrac{3}{4}·2
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
(5+4)^2-5·4-2(1+8)& = & 3+40 \\
\dfrac{1}{2}+1 & = & \dfrac{\cancel6^3}{\cancel4_2}
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
9^2-20-2·9& = & 43 \\
\dfrac{1+2}{2} & = & \dfrac{3}{2}
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
81-20-18& = & 43 \\
\dfrac{3}{2} & = & \dfrac{3}{2}
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
43& = & 43 \\
\dfrac{3}{2} & = & \dfrac{3}{2}
\end{Bmatrix}$

equazioni eguagliate.