Determina il valore medio della variabile aleatoria $X$ la cui densità è la funzione:
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{3}{x^4} & x<1 \\
0 & x \geq 1
\end{array}\right.
$$
$$
\left[\frac{3}{2}\right]
$$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Determinare il valore medio della variabile aleatoria $X$ la cui densità è la funzione: $f(x)=\{ \frac{3}{x⁴} \ \ x≥1, 0 \ \ x<1 \}$
Soluzione:
Credo ci sia un errore nel testo, quindi ho invertito le disuguaglianze.
Sia \( X \) una variabile aleatoria continua con densità di probabilità \( f(x) \). Il valore atteso (o valore medio, o media matematica) di \( X \) è definito come:
\[
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
\]
A condizione che l'integrale converga (cioè che \( \int_{-\infty}^{\infty} |x| f(x) \, dx < \infty \)), allora \( \mathbb{E}[X] \) esiste e rappresenta il baricentro della distribuzione di probabilità.
Intuizione:
Il valore atteso \( \mathbb{E}[X] \) di una variabile aleatoria rappresenta il valore medio che ci si aspetta di osservare nel lungo periodo, ripetendo l'esperimento un numero elevato di volte.
Per una variabile discreta, è una media pesata dei possibili valori, secondo le rispettive probabilità.
Per una variabile continua, può essere interpretato come il baricentro della densità di probabilità \( f(x) \), cioè il punto di equilibrio della "massa'' distribuita secondo \( f(x) \).
Nota: Il valore atteso non è necessariamente un valore che la variabile può realmente assumere. Rappresenta una media teorica.
Esempio: Se si tira molte volte un dado truccato con probabilità alterate, la media dei risultati si avvicinerà al valore atteso \( \mathbb{E}[X] \), anche se esso può non essere un numero intero.
Il valore atteso si calcola come:
\[
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
= \int_{1}^{\infty} x \cdot \frac{3}{x^4} \, dx
= \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^3} \, dx
\]
\[
= 3 \int_{1}^{\infty} x^{-3} \, dx
= 3 \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{1}^{\infty}
= 3 \left( 0 + \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2}
\]
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Livello 6
