utilizzando il metodo dei fasci scrivi l’equazione delle circonferenze che soddisfano le condizione

Problema:

Utilizzando il metodo dei fasci individua le circonferenze che soddisfano la seguente condizione:

È tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante nel punto della bisettrice di ascissa 1 ed ha il centro sulla retta di equazione $y=2x-7$

Soluzione:

Prima di iniziare è opportuno esplicitare alcuni dati, la bisettrice del primo e terzo quadrante è per definizione $y=x$, dunque il punto di tangenza è $T(1,1)$. 

Il fascio di circonferenze può essere individuato tramite le due circonferenze degeneri fornite, quella di centro T con raggio nullo e la retta bisettrice, essa rappresenta la circonferenza di raggio infinito.

$\Phi_\pi: (x-1)²+(y-1)²+k(y-x)=0$.

Espandendo l'espressione si ottiene: 

$\Phi_\pi: x²-2x+1+y²-2y+1+ky-kx= x²+y²+x(-2-k)+y(-2+k)+2=0$.

Poiché il centro delle circonferenze in generale è $C(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$, si ha che il centro di ogni circonferenza del fascio è descritto da $C_\Phi(-\frac{-2-k}{2}, -\frac{-2+k}{2})$.

Si impone che esso appartiene alla retta $y=2x-7$;

$-\frac{k-2}{2}=-2\frac{-2-k}{2}-7$

$k=4$

Sostituendo k nel fascio si ottiene:

$π: x²+y²+x(-2-4)+y(-2+4)+2=0$

$π: x²+y²-6x+2y+2=0$