Due circonferenze congruenti, C e C1, sono secanti nei punti P e Q. Da un punto qualsiasi di PQ traccia una retta perpendicolare a PQ, che intersechi C in A e B e C1 in C e D, con A e C posti dalla stessa parte rispetto alla retta PQ. Dimostra che a. AC=BD b. PQ è asse di AD e di BC.
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Livello 0
La retta PQ è asse radicale e sappiamo che essa è sempre perpendicolare alla retta passante per i centri O1 e O2.
Le rette O1O2 e AD sono pertanto parallele perché entrambe perpendicolari a PQ, dunque i centri hanno la stessa distanza dalla retta AD. Chiamo EO1 e FO2 le due distanze condotte dai centri alla retta.
Dato che due corde alla stessa distanza dal centro sono congruenti, le corde AB e CD sono congruenti.
Abbiamo dunque che:
AC = AB-BC = CD-BC = BD
Ricordiamo che tracciando la perpendicolare ad una corda, essa passa per il suo punto medio. Dunque E è punto medio di AB ed F è punto medio di CD.
Ovviamente essendo AB=CD, anche AE=EB=CF=FD.
In particolare abbiamo che:
EC = AC-AE = BD-DF = BF.
Notiamo O1G e O2G sono congruenti perché distanze condotte dai centri alla retta comune PQ.
Ma anche EH=HF per il teorema di Talete (sono i segmenti corrispondenti a O1G e O2G tra le parallele EO1, PQ e FO2).
Allora possiamo dire che:
CH=EH-EC = HF-BF=HB
quindi H è punto medio di BC ed essendo PH perpendicolare essa è anche asse.
Allo stesso modo è asse anche di AD essendo:
AH = AC+CH = BD+HB = DH
Noemi
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Livello 5
